Question

1025. 除数博弈

English Version

题目描述

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 n 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < n 且 n % x == 0 。
• 用 n - x 替换黑板上的数字 n 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

_只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 true 。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。_

 

示例 1：

输入：n = 2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：n = 3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

 

提示：

• 1 <= n <= 1000

解法

方法一：数学归纳法

• 当 $n=1$，先手败
• 当 $n=2$，先手拿 $1$，剩下 $1$，后手败，先手胜
• 当 $n=3$，先手拿 $1$，剩下 $2$，后手胜，先手败
• 当 $n=4$，先手拿 $1$，剩下 $3$，后手败，先手胜
• …

猜想，当 $n$ 为奇数时，先手败；当 $n$ 为偶数时，先手胜。

证明：

1. 若 $n=1$ 或 $n=2$，结论成立；
2. 若 $n \gt 2$，假设 $n \le k$ 时，该结论成立，则 $n=k+1$ 时：
   • 若 $k+1$ 为奇数，由于 $x$ 是 $k+1$ 的因数，那么 $x$ 只可能是奇数，因此 $k+1-x$ 为偶数，后手胜，先手败；
   • 若 $k+1$ 为偶数，此时 $x$ 既可以是奇数 $1$，也可以是偶数，若 $x$ 取奇数，那么 $k+1-x$ 为奇数，后手败，先手胜。

综上，当 $n$ 为奇数时，先手败；当 $n$ 为偶数时，先手胜。结论正确。

时间复杂度 $O(1)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def divisorGame(self, n: int) -> bool:
    return n % 2 == 0

class Solution {
  public boolean divisorGame(int n) {
    return n % 2 == 0;
  }
}

class Solution {
public:
  bool divisorGame(int n) {
    return n % 2 == 0;
  }
};

func divisorGame(n int) bool {
  return n%2 == 0
}