Question

Scipy 提供了稀疏矩阵的支持（scipy.sparse）。

稀疏矩阵主要使用 位置 + 值 的方法来存储矩阵的非零元素，根据存储和使用方式的不同，有如下几种类型的稀疏矩阵：

类型	描述
bsr_matrix(arg1[, shape, dtype, copy, blocksize])	Block Sparse Row matrix
coo_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])	A sparse matrix in COOrdinate format.
csc_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])	Compressed Sparse Column matrix
csr_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])	Compressed Sparse Row matrix
dia_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])	Sparse matrix with DIAgonal storage
dok_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])	Dictionary Of Keys based sparse matrix.
lil_matrix(arg1[, shape, dtype, copy])	Row-based linked list sparse matrix

在这些存储格式中：

• COO 格式在构建矩阵时比较高效
• CSC 和 CSR 格式在乘法计算时比较高效

构建稀疏矩阵

In [1]:

from scipy.sparse import *
import numpy as np

创建一个空的稀疏矩阵：

In [2]:

coo_matrix((2,3))

Out[2]:

<2x3 sparse matrix of type '<type 'numpy.float64'>'
    with 0 stored elements in COOrdinate format>

也可以使用一个已有的矩阵或数组或列表中创建新矩阵：

In [3]:

A = coo_matrix([[1,2,0],[0,0,3],[4,0,5]])
print A

  (0, 0)    1
  (0, 1)    2
  (1, 2)    3
  (2, 0)    4
  (2, 2)    5

不同格式的稀疏矩阵可以相互转化：

In [4]:

type(A)

Out[4]:

scipy.sparse.coo.coo_matrix

In [5]:

B = A.tocsr()
type(B)

Out[5]:

scipy.sparse.csr.csr_matrix

可以转化为普通矩阵：

In [6]:

C = A.todense()
C

Out[6]:

matrix([[1, 2, 0],
        [0, 0, 3],
        [4, 0, 5]])

与向量的乘法：

In [7]:

v = np.array([1,0,-1])
A.dot(v)

Out[7]:

array([ 1, -3, -1])

还可以传入一个 (data, (row, col)) 的元组来构建稀疏矩阵：

In [8]:

I = np.array([0,3,1,0])
J = np.array([0,3,1,2])
V = np.array([4,5,7,9])
A = coo_matrix((V,(I,J)),shape=(4,4))

In [9]:

print A

  (0, 0)    4
  (3, 3)    5
  (1, 1)    7
  (0, 2)    9

COO 格式的稀疏矩阵在构建的时候只是简单的将坐标和值加到后面，对于重复的坐标不进行处理：

In [10]:

I = np.array([0,0,1,3,1,0,0])
J = np.array([0,2,1,3,1,0,0])
V = np.array([1,1,1,1,1,1,1])
B = coo_matrix((V,(I,J)),shape=(4,4))
print B

  (0, 0)    1
  (0, 2)    1
  (1, 1)    1
  (3, 3)    1
  (1, 1)    1
  (0, 0)    1
  (0, 0)    1

转换成 CSR 格式会自动将相同坐标的值合并：

In [11]:

C = B.tocsr()
print C

  (0, 0)    3
  (0, 2)    1
  (1, 1)    2
  (3, 3)    1

求解微分方程

In [12]:

from scipy.sparse import lil_matrix
from scipy.sparse.linalg import spsolve
from numpy.linalg import solve, norm
from numpy.random import rand

构建 1000 x 1000 的稀疏矩阵：

In [13]:

A = lil_matrix((1000, 1000))
A[0, :100] = rand(100)
A[1, 100:200] = A[0, :100]
A.setdiag(rand(1000))

转化为 CSR 之后，用 spsolve 求解 $Ax=b$：

In [14]:

A = A.tocsr()
b = rand(1000)
x = spsolve(A, b)

转化成正常数组之后求解：

In [15]:

x_ = solve(A.toarray(), b)

查看误差：

In [16]:

err = norm(x-x_)
err

Out[16]:

6.4310987107687431e-13

sparse.find 函数

返回一个三元组，表示稀疏矩阵中非零元素的 (row, col, value)：

In [17]:

from scipy import sparse

row, col, val = sparse.find(C)
print row, col, val

[0 0 1 3] [0 2 1 3] [3 1 2 1]

sparse.issparse 函数

查看一个对象是否为稀疏矩阵：

In [18]:

sparse.issparse(B)

Out[18]:

True

或者

In [19]:

sparse.isspmatrix(B.todense())

Out[19]:

False

还可以查询是否为指定格式的稀疏矩阵：

In [20]:

sparse.isspmatrix_coo(B)

Out[20]:

True

In [21]:

sparse.isspmatrix_csr(B)

Out[21]:

False