Question

HI 解算器的基本要求是，该解决方案属于历史独立型，即只能基于当前状态下的目标和其他附带参数。

自由旋转角度

为单个链提供位置目标后，将保持明显的自由度：绕末端效应器轴（EE 轴）旋转。使用旋转角度，可以定量地说明这种自由度。

1. 起始关节

2. 末端效应器

3. EE 轴

解算器平面

我们称通过所有关节的平面为“解算器平面”。如果关节不位于平面上，该平面的定义如下：(A) 通过“起始关节”和“结束关节”；(B) 在某种意义上，距离其余关节最近。

“旋转角度”说明了“解算器平面”的自由度。它只包含“起始关节”。

零平面贴图

为了定量说明解算器平面，必须就 0 的含义达成一致。末端效应器的位置给定时，“零（解算器）平面”的位置如何？“零平面贴图”用作参数 EE 轴，因此可以为零平面生成法线。

使用 IK 系统，各个解算器插件都能定义自己的“零平面贴图”。如果未定义，IK 系统将会提供默认值。

“零平面贴图”的参数是一个提供 EE 轴方向的单位向量。同样，EE 沿着 EE 轴滑动时，应该固定解算器平面。因此，“零平面贴图”可以定义向量场或球体。如果提供球体上的点，将会生成切向单位向量，以其作为零平面的法线进行插补。

1. 零平面的法线

翻转解算器平面

球体上不存在连续的向量场属于数学事实。无论做何努力，邻近向量会大幅更改的球体上始终存在着一点。这是末端效应器轴向其靠近时解算器平面要发生翻转的位置。

一方面，这是因为，根据历史独立型要求，我们必须向单点分配固定向量。另外一方面，无论分配什么向量，该向量将会与分配给邻近点的某些向量明显不同。

球体的固有参考帧

为了定义“零平面贴图”，必须定义球体的参考帧。该参考帧是关节链本身所固有的。

球体可以通过中心、水平面和子午线（零纬度）来定义。该中心分配给起始关节。

如果所有的关节角度都假定为首选角度，则姿势尤其重要。我们称之为首选姿势。

我们将处于首选姿势的解算器平面用作水平面。因为使用旋转角度可以控制起始关节，所以，起始关节处的首选角度并非是固有的。另外，使用解算器平面定义水平面是合理的。其中，通过向起始关节分配零平面，而向其他关节分配首选角度，可以生成该解算器平面。

EE 轴可以定义子午线。此时，球体的定义如下图所述：

1. EE 轴

所有关节都假定了首选角度。“零平面贴图”将在该球体上加以定义。

事实上，定义其自身的“零平面贴图”时所用的插件解算器 API 可以向处于首选姿势的解算器平面分配 EE 轴和法线：

virtual const IKSys::ZeroPlaneMap*

 GetZeroPlaneMap(const Point3& a0,
 const Point3& n0) const

其中，a0 和 n0 分别是 EE 轴和处于首选姿势的解算器平面。ZeroPlaneMap 的对象是一个向球体上每点分配平面法线的函数。

默认零平面贴图

如果未由插件解算器提供，（IK 解算器本身作为插件解算器实施）IK 系统将会提供默认值。该贴图是通过下列规则定义的：

• A：对于水平面与球体相交得到的赤道上的每个点，法线向量是作为垂直向量定义的。该向量所指的方向与处于首选姿势的解算器平面的法线方向相同。
• B：对于球体而不是两极上的任何点，存在一个通过该点和南北两极的大圆。该圆与赤道相交于两点。一点比较靠近指定点。按着大圆方向将赤道上更近的点处的法线沿着切线方向移动到该点，即可定义指定点处的法线向量。

  生成零平面的默认法线

无疑，这种方法不会延伸到南北极。南北极是单点。EE 轴穿越两极时，法线将会突然改变方向，即通过用户视口进行翻转。

通常，首选姿势是首次分配解算器时的姿势。因此，放置点的平面与此处的水平面相对应。规则 A 可以确保，如果在平面上移动目标，该链将一直处于该平面中。

规则 B 表明，沿着与赤道垂直的大圆移动到赤道时，该链一直处于垂直位置，穿过两极（该贴图的单点）时除外。

父空间

到目前为止，我们已经介绍了很多内容，就好像整个世界只包含 IK 元素一样。事实上，IK 链和目标位于各个变换层次的点上。最终，我们必须绘制末端效应器的位置。在世界中，该位置是指球体上的某个点。根据球体相对于末端效应器位置的安装方式，经度和纬度的显示不尽相同。要在其中放置该球体的父变换空间称“旋转角度父空间”或“父空间”（如果环境明确的话）。

对于 IK 参数，父空间必须是恒定不变的。刚才，我们已经提供了两种选择方案：

• 起始关节“旋转角度父空间”与“起始关节”的父空间相同。
• IK 目标“旋转角度父空间”是 IK 目标的父级。

示例 1

如果起始关节和目标直接位于世界中，选择“父空间”不会有任何区别。在下例中，起始关节是对象 A 的父级。

此时，可以（通过起始关节）将 IK 链设置为对象 A 的父级。

假定这是分配 IK 解算器时的姿势。因此，这是首选姿势。展开关节的平面是球体的水平面（“零平面贴图”）。

• A：“父空间”是“起始关节”。在这种情况下，将该球体设置为 A 的父级。如果 A 绕着绘制的轴旋转，该球体将会与其一同旋转。目标位于各个变换层次中。该目标将会保持原位。末端效应器因 IK 解决方案而与其相连。因为（平面）法线对球体是固定的，所以，它也会与 A 一起旋转。为此，整个链似乎与父对象一起旋转。
• B：“父空间”是“IK 目标”。假定该目标是世界的父级。在这种情况下，由于球体已设置为世界的父级，因此保持不变。因此法线对球体是固定的，所以，旋转 A 时，该链将保持静止。

示例 2

在下例中，我们将要了解一下分配 IK 解算器后父空间存在的旋转情况。

分配 IK 解算器后，IK 链的父空间将会包含一个旋转。

父 A 包含 90 度的旋转。如果用户没有使用 IK 解算器创建四个骨骼，并在稍后分配一个 IK 解算器（从 Bone2 到 Bone4），就属于抽象概念。如果直接将链设置为世界的父级，它将会显示在右图中：解算器平面变成水平状态。

• A：“父空间”是“起始关节”。旋转 A 后，将会安装球体。因此，“水平面”与视口中所示的链平面相符。单点相对于该平面与“起始关节”垂直。在平面上移动目标/末端效应器时，它决不会与单点交叉，也不会进行翻转。
• B：“父空间”是“IK 目标”。另外，我们假定目标的父空间是世界。此时，该球体的“水平面”将变成水平状态，如右图所示。单点和两极都位于展开关节的平面上。因此，用户左右移动目标/末端效应器时，末端效应器将会通过单点，还会进行翻转。

B 的问题在于，决不会向用户显示右图。因此，必须对其进行设想，以便了解翻转。

示例 3

本例介绍了重新分配“起始关节”时生成的结果。假定我们有一个包含四个骨骼节点的 IK 链。

1. Bone01

2. Bone02

3. Bone03

4. Bone04

“起始关节”和“结束关节”分别是 Bone01 和 Bone04。假定图中所示的姿势是首选姿势，且 Bone01 包含一个旋转。如果直接将 Bone02 设置为世界的父级，右图中将会显示 Bone02 的层次。

向 Bone02 重新分配“起始关节”时，“零平面贴图”球体将会基于右侧的配置。

• A：“父空间”是“起始关节”。在这种情况下，固定进行正确配置的球体将被设置为 Bone01 的父级。它将会与基于 Bone01 到 Bone04 的球体相同。因此，可以获得相同的法线，而链将会保持不变。
• B：“父空间”是“IK 目标”。在这种情况下，球体处于世界中，而 Bone02 被设置为 Bone01 的父级。如果 Bone04 因 Bone01 变换而移动到左侧，对球体（对世界固定）固定的观察者将会发现，Bone04 正在远离首选姿势定义的中性位置。此后，将会对“零平面贴图”应用算法，以便在替换位置处找到法线。通常，它不会与视口垂直。因此，使用新的“起始关节”时，只会翻转一次。

如果删除解算器/目标，并已分配新对象（从 Bone02 到 Bone04），您将会发现，该链不会翻转。为什么？分配“起始关节”和创建新的 IK 链/目标是不同的。“起始关节”是很多 IK 参数之一。重新分配“起始关节”与修改任何参数完全相同。其余参数将保持完好。尤其是，执行重新分配操作后，不会更改“旋转角度”。

创建新的 IK 链/目标会有所不同。试图确保关节链处于固定状态，方法是对参数进行相应的调整。尤其是，“旋转角度”将会设置为某个值，使解算器平面可以在视口中保持固定。