Question

2285. 道路的最大总重要性

English Version

题目描述

给你一个整数 n ，表示一个国家里的城市数目。城市编号为 0 到 n - 1 。

给你一个二维整数数组 roads ，其中 roads[i] = [ai, bi] 表示城市 ai 和 bi 之间有一条 双向 道路。

你需要给每个城市安排一个从 1 到 n 之间的整数值，且每个值只能被使用 一次 。道路的 重要性 定义为这条道路连接的两座城市数值 之和 。

请你返回在最优安排下，所有道路重要性 之和 最大 为多少。

 

示例 1：

输入：n = 5, roads = [[0,1],[1,2],[2,3],[0,2],[1,3],[2,4]]
输出：43
解释：上图展示了国家图和每个城市被安排的值 [2,4,5,3,1] 。
- 道路 (0,1) 重要性为 2 + 4 = 6 。
- 道路 (1,2) 重要性为 4 + 5 = 9 。
- 道路 (2,3) 重要性为 5 + 3 = 8 。
- 道路 (0,2) 重要性为 2 + 5 = 7 。
- 道路 (1,3) 重要性为 4 + 3 = 7 。
- 道路 (2,4) 重要性为 5 + 1 = 6 。
所有道路重要性之和为 6 + 9 + 8 + 7 + 7 + 6 = 43 。
可以证明，重要性之和不可能超过 43 。

示例 2：

输入：n = 5, roads = [[0,3],[2,4],[1,3]]
输出：20
解释：上图展示了国家图和每个城市被安排的值 [4,3,2,5,1] 。
- 道路 (0,3) 重要性为 4 + 5 = 9 。
- 道路 (2,4) 重要性为 2 + 1 = 3 。
- 道路 (1,3) 重要性为 3 + 5 = 8 。
所有道路重要性之和为 9 + 3 + 8 = 20 。
可以证明，重要性之和不可能超过 20 。

 

提示：

• 2 <= n <= 5 * 104
• 1 <= roads.length <= 5 * 104
• roads[i].length == 2
• 0 <= ai, bi <= n - 1
• ai != bi
• 没有重复道路。

解法

方法一：贪心 + 排序

考虑每个城市对所有道路的总重要性的贡献度，按贡献度从小到大排序，为城市依次分配 $[1, 2, …, n]$。

时间复杂度 $O(n \tiems \log n)$，其中 $n$ 表示城市数目。

class Solution:
  def maximumImportance(self, n: int, roads: List[List[int]]) -> int:
    deg = [0] * n
    for a, b in roads:
      deg[a] += 1
      deg[b] += 1
    deg.sort()
    return sum(i * v for i, v in enumerate(deg, 1))

class Solution {
  public long maximumImportance(int n, int[][] roads) {
    int[] deg = new int[n];
    for (int[] r : roads) {
      ++deg[r[0]];
      ++deg[r[1]];
    }
    Arrays.sort(deg);
    long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      ans += (long) (i + 1) * deg[i];
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  long long maximumImportance(int n, vector<vector<int>>& roads) {
    vector<int> deg(n);
    for (auto& r : roads) {
      ++deg[r[0]];
      ++deg[r[1]];
    }
    sort(deg.begin(), deg.end());
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) ans += 1ll * (i + 1) * deg[i];
    return ans;
  }
};

func maximumImportance(n int, roads [][]int) int64 {
  deg := make([]int, n)
  for _, r := range roads {
    deg[r[0]]++
    deg[r[1]]++
  }
  sort.Ints(deg)
  var ans int64
  for i := 0; i < n; i++ {
    ans += int64((i + 1) * deg[i])
  }
  return ans
}