Question

1879. 两个数组最小的异或值之和

English Version

题目描述

给你两个整数数组 nums1 和 nums2 ，它们长度都为 n 。

两个数组的 异或值之和 为 (nums1[0] XOR nums2[0]) + (nums1[1] XOR nums2[1]) + ... + (nums1[n - 1] XOR nums2[n - 1]) （下标从 0 开始）。

• 比方说，[1,2,3] 和 [3,2,1] 的 异或值之和 等于 (1 XOR 3) + (2 XOR 2) + (3 XOR 1) = 2 + 0 + 2 = 4 。

请你将 nums2 中的元素重新排列，使得 异或值之和 最小 。

请你返回重新排列之后的 异或值之和 。

 

示例 1：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [2,3]
输出：2
解释：将 nums2 重新排列得到 [3,2] 。
异或值之和为 (1 XOR 3) + (2 XOR 2) = 2 + 0 = 2 。

示例 2：

输入：nums1 = [1,0,3], nums2 = [5,3,4]
输出：8
解释：将 nums2 重新排列得到 [5,4,3] 。
异或值之和为 (1 XOR 5) + (0 XOR 4) + (3 XOR 3) = 4 + 4 + 0 = 8 。

 

提示：

• n == nums1.length
• n == nums2.length
• 1 <= n <= 14
• 0 <= nums1[i], nums2[i] <= 107

解法

方法一：状态压缩动态规划

我们注意到 $n \leq 14$，因此，我们可以考虑使用状态压缩动态规划的方法求解本题。

我们用一个长度为 $n$ 的二进制数表示当前的状态，第 $i$ 位为 $1$ 表示 $nums2[i]$ 已经被选择，为 $0$ 表示 $nums2[i]$ 还未被选择。

我们定义 $f[i][j]$ 表示 $nums1$ 的前 $i$ 个数中，选择了 $nums2$ 的 $i$ 个数，且当前所选数字的状态为 $j$ 时，数组 $nums1$ 和 $nums2$ 的异或值之和的最小值。初始时 $f[0][0]=0$，其余 $f[i][j]=+\infty$。

我们可以枚举 $nums1$ 的第 $i$ 个数 $x$，然后在 $[0,2^n)$ 的范围内枚举状态 $j$，转移方程为 $f[i][j]=\min(f[i][j],f[i-1][j\oplus 2^k]+(x\oplus nums2[k]))$，其中 $k$ 是 $j$ 的二进制表示中的某个 $1$ 所在的位置。

最后答案为 $f[n][2^n-1]$。

时间复杂度 $O(n^2 \times 2^n)$，空间复杂度 $O(n \times 2^n)$。其中 $n$ 是数组的长度。

我们注意到，状态 $f[i][j]$ 只与 $f[i-1][j\oplus 2^k]$ 有关，因此我们去掉第一维，将空间复杂度优化到 $O(2^n)$。

class Solution:
  def minimumXORSum(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
    n = len(nums2)
    f = [[inf] * (1 << n) for _ in range(n + 1)]
    f[0][0] = 0
    for i, x in enumerate(nums1, 1):
      for j in range(1 << n):
        for k in range(n):
          if j >> k & 1:
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j ^ (1 << k)] + (x ^ nums2[k]))
    return f[-1][-1]

class Solution {
  public int minimumXORSum(int[] nums1, int[] nums2) {
    int n = nums1.length;
    int[][] f = new int[n + 1][1 << n];
    for (var g : f) {
      Arrays.fill(g, 1 << 30);
    }
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = 0; j < 1 << n; ++j) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
          if ((j >> k & 1) == 1) {
            f[i][j]
              = Math.min(f[i][j], f[i - 1][j ^ (1 << k)] + (nums1[i - 1] ^ nums2[k]));
          }
        }
      }
    }
    return f[n][(1 << n) - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int minimumXORSum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    int n = nums1.size();
    int f[n + 1][1 << n];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      for (int j = 0; j < 1 << n; ++j) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
          if (j >> k & 1) {
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j ^ (1 << k)] + (nums1[i - 1] ^ nums2[k]));
          }
        }
      }
    }
    return f[n][(1 << n) - 1];
  }
};

func minimumXORSum(nums1 []int, nums2 []int) int {
  n := len(nums1)
  f := make([][]int, n+1)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, 1<<n)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = 1 << 30
    }
  }
  f[0][0] = 0
  for i := 1; i <= n; i++ {
    for j := 0; j < 1<<n; j++ {
      for k := 0; k < n; k++ {
        if j>>k&1 == 1 {
          f[i][j] = min(f[i][j], f[i-1][j^(1<<k)]+(nums1[i-1]^nums2[k]))
        }
      }
    }
  }
  return f[n][(1<<n)-1]
}

function minimumXORSum(nums1: number[], nums2: number[]): number {
  const n = nums1.length;
  const f: number[][] = Array(n + 1)
    .fill(0)
    .map(() => Array(1 << n).fill(1 << 30));
  f[0][0] = 0;
  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    for (let j = 0; j < 1 << n; ++j) {
      for (let k = 0; k < n; ++k) {
        if (((j >> k) & 1) === 1) {
          f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i - 1][j ^ (1 << k)] + (nums1[i - 1] ^ nums2[k]));
        }
      }
    }
  }
  return f[n][(1 << n) - 1];
}

方法二：状态压缩动态规划（枚举优化）

我们也可以直接在 $[0, 2^n)$ 范围内枚举状态 $i$，假设 $i$ 的二进制表示中有 $k$ 个 $1$，那么当前枚举的就是 $nums1$ 的第 $k$ 个数，下标为 $k-1$。状态转移方程为 $f[i]=\min(f[i],f[i\oplus 2^j]+(nums1[k-1]\oplus nums2[j]))$，其中 $j$ 是 $i$ 的二进制表示中的某个 $1$ 所在的位置。

时间复杂度 $O(n \times 2^n)$，空间复杂度 $O(2^n)$。其中 $n$ 是数组的长度。

class Solution:
  def minimumXORSum(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
    n = len(nums2)
    f = [inf] * (1 << n)
    f[0] = 0
    for x in nums1:
      for j in range((1 << n) - 1, -1, -1):
        for k in range(n):
          if j >> k & 1:
            f[j] = min(f[j], f[j ^ (1 << k)] + (x ^ nums2[k]))
    return f[-1]

class Solution {
  public int minimumXORSum(int[] nums1, int[] nums2) {
    int n = nums1.length;
    int[] f = new int[1 << n];
    Arrays.fill(f, 1 << 30);
    f[0] = 0;
    for (int x : nums1) {
      for (int j = (1 << n) - 1; j >= 0; --j) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
          if ((j >> k & 1) == 1) {
            f[j] = Math.min(f[j], f[j ^ (1 << k)] + (x ^ nums2[k]));
          }
        }
      }
    }
    return f[(1 << n) - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int minimumXORSum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    int n = nums1.size();
    int f[1 << n];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for (int x : nums1) {
      for (int j = (1 << n) - 1; ~j; --j) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
          if (j >> k & 1) {
            f[j] = min(f[j], f[j ^ (1 << k)] + (x ^ nums2[k]));
          }
        }
      }
    }
    return f[(1 << n) - 1];
  }
};

func minimumXORSum(nums1 []int, nums2 []int) int {
  n := len(nums1)
  f := make([]int, 1<<n)
  for i := range f {
    f[i] = 1 << 30
  }
  f[0] = 0
  for _, x := range nums1 {
    for j := (1 << n) - 1; j >= 0; j-- {
      for k := 0; k < n; k++ {
        if j>>k&1 == 1 {
          f[j] = min(f[j], f[j^(1<<k)]+(x^nums2[k]))
        }
      }
    }
  }
  return f[(1<<n)-1]
}

function minimumXORSum(nums1: number[], nums2: number[]): number {
  const n = nums1.length;
  const f: number[] = Array(1 << n).fill(1 << 30);
  f[0] = 0;
  for (const x of nums1) {
    for (let j = (1 << n) - 1; ~j; --j) {
      for (let k = 0; k < n; ++k) {
        if (((j >> k) & 1) === 1) {
          f[j] = Math.min(f[j], f[j ^ (1 << k)] + (x ^ nums2[k]));
        }
      }
    }
  }
  return f[(1 << n) - 1];
}

方法三

class Solution:
  def minimumXORSum(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
    n = len(nums2)
    f = [inf] * (1 << n)
    f[0] = 0
    for i in range(1, 1 << n):
      k = i.bit_count() - 1
      for j in range(n):
        if i >> j & 1:
          f[i] = min(f[i], f[i ^ (1 << j)] + (nums1[k] ^ nums2[j]))
    return f[-1]

class Solution {
  public int minimumXORSum(int[] nums1, int[] nums2) {
    int n = nums1.length;
    int[] f = new int[1 << n];
    Arrays.fill(f, 1 << 30);
    f[0] = 0;
    for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
      int k = Integer.bitCount(i) - 1;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if ((i >> j & 1) == 1) {
          f[i] = Math.min(f[i], f[i ^ (1 << j)] + (nums1[k] ^ nums2[j]));
        }
      }
    }
    return f[(1 << n) - 1];
  }
}

class Solution {
public:
  int minimumXORSum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    int n = nums1.size();
    int f[1 << n];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) {
      int k = __builtin_popcount(i) - 1;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (i >> j & 1) {
          f[i] = min(f[i], f[i ^ (1 << j)] + (nums1[k] ^ nums2[j]));
        }
      }
    }
    return f[(1 << n) - 1];
  }
};

func minimumXORSum(nums1 []int, nums2 []int) int {
  n := len(nums1)
  f := make([]int, 1<<n)
  for i := range f {
    f[i] = 1 << 30
  }
  f[0] = 0
  for i := 0; i < 1<<n; i++ {
    k := bits.OnesCount(uint(i)) - 1
    for j := 0; j < n; j++ {
      if i>>j&1 == 1 {
        f[i] = min(f[i], f[i^1<<j]+(nums1[k]^nums2[j]))
      }
    }
  }
  return f[(1<<n)-1]
}

function minimumXORSum(nums1: number[], nums2: number[]): number {
  const n = nums1.length;
  const f: number[] = Array(1 << n).fill(1 << 30);
  f[0] = 0;
  for (let i = 0; i < 1 << n; ++i) {
    const k = bitCount(i) - 1;
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      if (((i >> j) & 1) === 1) {
        f[i] = Math.min(f[i], f[i ^ (1 << j)] + (nums1[k] ^ nums2[j]));
      }
    }
  }
  return f[(1 << n) - 1];
}

function bitCount(i: number): number {
  i = i - ((i >>> 1) & 0x55555555);
  i = (i & 0x33333333) + ((i >>> 2) & 0x33333333);
  i = (i + (i >>> 4)) & 0x0f0f0f0f;
  i = i + (i >>> 8);
  i = i + (i >>> 16);
  return i & 0x3f;
}