Question

我们前面讲到简单选择排序，它在待排序的n个记录中选择一个最小的记录需要比较n-1次。本来这也可以理解，查找第一个数据需要比较这么多次是正常的，否则如何知道它是最小的记录。

可惜的是，这样的操作并没有把每一趟的比较结果保存下来，在后一趟的比较中，有许多比较在前一趟已经做过了，但由于前一趟排序时未保存这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作，因而记录的比较次数较多。

如果可以做到每次在选择到最小记录的同时，并根据比较结果对其他记录做出相应的调整，那样排序的总体效率就会非常高了。而堆排序（HeapSort），就是对简单选择排序进行的一种改进，这种改进的效果是非常明显的。堆排序算法是Floyd和Williams在1964年共同发明的，同时，他们发明了“堆”这样的数据结构。

图9-7-1

回忆一下我们小时候，特别是男同学，基本都玩过叠罗汉的恶作剧。通常都是先把某个要整的人按倒在地，然后大家就一拥而上扑了上去……后果？后果当然就是一笑了之，一个恶作剧而已。不过在西班牙的加泰罗尼亚地区，他们将叠罗汉视为了正儿八经的民族体育活动，如图9-7-1所示，可以想象当时场面的壮观。

叠罗汉运动是把人堆在一起，而我们这里要介绍的“堆”结构相当于把数字符号堆成一个塔型的结构。当然，这绝不是简单的堆砌。大家看图9-7-2所示，能够找到什么规律吗？

图9-7-2

很明显，我们可以发现它们都是二叉树，如果观察仔细些，还能看出它们都是完全二叉树。左图中根结点是所有元素中最大的，右图的根结点是所有元素中最小的。再细看看，发现左图每个结点都比它的左右孩子要大，右图每个结点都比它的左右孩子要小。这就是我们要讲的堆结构。

堆是具有下列性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆（例如图9-7-2左图所示）；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆（例如图9-7-2右图所示）。

这里需要注意从堆的定义可知，根结点一定是堆中所有结点最大（小）者。较大（小）的结点靠近根结点（但也不绝对，比如右图小顶堆中60、40均小于70，但它们并没有70靠近根结点）。

如果按照层序遍历的方式给结点从1开始编号，则结点之间满足如下关系：

这里为什么i要小于等于呢？相信大家可能都忘记了二叉树的性质5，其实忘记也不奇怪，这个性质在我们讲完之后，就再也没有提到过它。可以说，这个性质仿佛就是在为堆准备的。性质5的第一条就说一棵完全二叉树，如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。那么对于有n个结点的二叉树而言，它的i值自然就是小于等于了。性质5的第二、三条，也是在说明下标i与2i和2i+1的双亲子女关系。如果完全忘记的同学不妨去复习一下。

如果将图9-7-2的大顶堆和小顶堆用层序遍历存入数组，则一定满足上面的关系表达，如图9-7-3所示。

图9-7-3

我们现在讲这个堆结构，其目的就是为了堆排序用的。