Question

2467. 树上最大得分和路径

English Version

题目描述

一个 n 个节点的无向树，节点编号为 0 到 n - 1 ，树的根结点是 0 号节点。给你一个长度为 n - 1 的二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi] ，表示节点 ai 和 bi 在树中有一条边。

在每一个节点 i 处有一扇门。同时给你一个都是偶数的数组 amount ，其中 amount[i] 表示：

• 如果 amount[i] 的值是负数，那么它表示打开节点 i 处门扣除的分数。
• 如果 amount[i] 的值是正数，那么它表示打开节点 i 处门加上的分数。

游戏按照如下规则进行：

• 一开始，Alice 在节点 0 处，Bob 在节点 bob 处。
• 每一秒钟，Alice 和 Bob 分别 移动到相邻的节点。Alice 朝着某个 叶子结点 移动，Bob 朝着节点 0 移动。
• 对于他们之间路径上的 每一个 节点，Alice 和 Bob 要么打开门并扣分，要么打开门并加分。注意：
  • 如果门 已经打开 （被另一个人打开），不会有额外加分也不会扣分。
  • 如果 Alice 和 Bob 同时 到达一个节点，他们会共享这个节点的加分或者扣分。换言之，如果打开这扇门扣 c 分，那么 Alice 和 Bob 分别扣 c / 2 分。如果这扇门的加分为 c ，那么他们分别加 c / 2 分。
• 如果 Alice 到达了一个叶子结点，她会停止移动。类似的，如果 Bob 到达了节点 0 ，他也会停止移动。注意这些事件互相 独立 ，不会影响另一方移动。

请你返回 Alice 朝最优叶子结点移动的 最大 净得分。

 

示例 1：

输入：edges = [[0,1],[1,2],[1,3],[3,4]], bob = 3, amount = [-2,4,2,-4,6]
输出：6
解释：
上图展示了输入给出的一棵树。游戏进行如下：
- Alice 一开始在节点 0 处，Bob 在节点 3 处。他们分别打开所在节点的门。
  Alice 得分为 -2 。
- Alice 和 Bob 都移动到节点 1 。
  因为他们同时到达这个节点，他们一起打开门并平分得分。
  Alice 的得分变为 -2 + (4 / 2) = 0 。
- Alice 移动到节点 3 。因为 Bob 已经打开了这扇门，Alice 得分不变。
  Bob 移动到节点 0 ，并停止移动。
- Alice 移动到节点 4 并打开这个节点的门，她得分变为 0 + 6 = 6 。
现在，Alice 和 Bob 都不能进行任何移动了，所以游戏结束。
Alice 无法得到更高分数。

示例 2：

输入：edges = [[0,1]], bob = 1, amount = [-7280,2350]
输出：-7280
解释：
Alice 按照路径 0->1 移动，同时 Bob 按照路径 1->0 移动。
所以 Alice 只打开节点 0 处的门，她的得分为 -7280 。

 

提示：

• 2 <= n <= 105
• edges.length == n - 1
• edges[i].length == 2
• 0 <= ai, bi < n
• ai != bi
• edges 表示一棵有效的树。
• 1 <= bob < n
• amount.length == n
• amount[i] 是范围 [-104, 104] 之间的一个 偶数 。

解法

方法一：两次 DFS

根据题意，我们可以知道，Bob 的移动路径是固定的，即从节点 $bob$ 出发，最终到达节点 $0$。因此，我们可以先跑一遍 DFS，求出 Bob 到达每个节点的时间，记在数组 $ts$ 中。

然后我们再跑一遍 DFS，求出 Alice 每条移动路径的最大得分，我们记 Alice 到达节点 $i$ 的时间为 $t$，当前累计得分为 $v$，那么 Alice 在经过节点 $i$ 处后，累计的分数有三种情况：

1. Alice 到达节点 $i$ 的时间 $t$ 与 Bob 到达节点 $i$ 的时间 $ts[i]$ 相同，那么 Alice 和 Bob 同时打开节点 $i$ 处的门，Alice 获得的分数为 $v + \frac{amount[i]}{2}$；
2. Alice 到达节点 $i$ 的时间 $t$ 小于 Bob 到达节点 $i$ 的时间 $ts[i]$，那么 Alice 打开节点 $i$ 处的门，Alice 获得的分数为 $v + amount[i]$。
3. Alice 到达节点 $i$ 的时间 $t$ 大于 Bob 到达节点 $i$ 的时间 $ts[i]$，那么 Alice 不打开节点 $i$ 处的门，Alice 获得的分数为 $v$，即不变。

当 Alice 到达叶子节点时，更新最大得分。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为节点个数。

class Solution:
  def mostProfitablePath(
    self, edges: List[List[int]], bob: int, amount: List[int]
  ) -> int:
    def dfs1(i, fa, t):
      if i == 0:
        ts[i] = min(ts[i], t)
        return True
      for j in g[i]:
        if j != fa and dfs1(j, i, t + 1):
          ts[j] = min(ts[j], t + 1)
          return True
      return False

    def dfs2(i, fa, t, v):
      if t == ts[i]:
        v += amount[i] // 2
      elif t < ts[i]:
        v += amount[i]
      nonlocal ans
      if len(g[i]) == 1 and g[i][0] == fa:
        ans = max(ans, v)
        return
      for j in g[i]:
        if j != fa:
          dfs2(j, i, t + 1, v)

    n = len(edges) + 1
    g = defaultdict(list)
    ts = [n] * n
    for a, b in edges:
      g[a].append(b)
      g[b].append(a)
    dfs1(bob, -1, 0)
    ts[bob] = 0
    ans = -inf
    dfs2(0, -1, 0, 0)
    return ans

class Solution {
  private List<Integer>[] g;
  private int[] amount;
  private int[] ts;
  private int ans = Integer.MIN_VALUE;

  public int mostProfitablePath(int[][] edges, int bob, int[] amount) {
    int n = edges.length + 1;
    g = new List[n];
    ts = new int[n];
    this.amount = amount;
    Arrays.setAll(g, k -> new ArrayList<>());
    Arrays.fill(ts, n);
    for (var e : edges) {
      int a = e[0], b = e[1];
      g[a].add(b);
      g[b].add(a);
    }
    dfs1(bob, -1, 0);
    ts[bob] = 0;
    dfs2(0, -1, 0, 0);
    return ans;
  }

  private boolean dfs1(int i, int fa, int t) {
    if (i == 0) {
      ts[i] = Math.min(ts[i], t);
      return true;
    }
    for (int j : g[i]) {
      if (j != fa && dfs1(j, i, t + 1)) {
        ts[j] = Math.min(ts[j], t + 1);
        return true;
      }
    }
    return false;
  }

  private void dfs2(int i, int fa, int t, int v) {
    if (t == ts[i]) {
      v += amount[i] >> 1;
    } else if (t < ts[i]) {
      v += amount[i];
    }
    if (g[i].size() == 1 && g[i].get(0) == fa) {
      ans = Math.max(ans, v);
      return;
    }
    for (int j : g[i]) {
      if (j != fa) {
        dfs2(j, i, t + 1, v);
      }
    }
  }
}

class Solution {
public:
  int mostProfitablePath(vector<vector<int>>& edges, int bob, vector<int>& amount) {
    int n = edges.size() + 1;
    vector<vector<int>> g(n);
    for (auto& e : edges) {
      int a = e[0], b = e[1];
      g[a].emplace_back(b);
      g[b].emplace_back(a);
    }
    vector<int> ts(n, n);
    function<bool(int i, int fa, int t)> dfs1 = [&](int i, int fa, int t) -> bool {
      if (i == 0) {
        ts[i] = t;
        return true;
      }
      for (int j : g[i]) {
        if (j != fa && dfs1(j, i, t + 1)) {
          ts[j] = min(ts[j], t + 1);
          return true;
        }
      }
      return false;
    };
    dfs1(bob, -1, 0);
    ts[bob] = 0;
    int ans = INT_MIN;
    function<void(int i, int fa, int t, int v)> dfs2 = [&](int i, int fa, int t, int v) {
      if (t == ts[i])
        v += amount[i] >> 1;
      else if (t < ts[i])
        v += amount[i];
      if (g[i].size() == 1 && g[i][0] == fa) {
        ans = max(ans, v);
        return;
      }
      for (int j : g[i])
        if (j != fa) dfs2(j, i, t + 1, v);
    };
    dfs2(0, -1, 0, 0);
    return ans;
  }
};

func mostProfitablePath(edges [][]int, bob int, amount []int) int {
  n := len(edges) + 1
  g := make([][]int, n)
  for _, e := range edges {
    a, b := e[0], e[1]
    g[a] = append(g[a], b)
    g[b] = append(g[b], a)
  }
  ts := make([]int, n)
  for i := range ts {
    ts[i] = n
  }
  var dfs1 func(int, int, int) bool
  dfs1 = func(i, fa, t int) bool {
    if i == 0 {
      ts[i] = min(ts[i], t)
      return true
    }
    for _, j := range g[i] {
      if j != fa && dfs1(j, i, t+1) {
        ts[j] = min(ts[j], t+1)
        return true
      }
    }
    return false
  }
  dfs1(bob, -1, 0)
  ts[bob] = 0
  ans := -0x3f3f3f3f
  var dfs2 func(int, int, int, int)
  dfs2 = func(i, fa, t, v int) {
    if t == ts[i] {
      v += amount[i] >> 1
    } else if t < ts[i] {
      v += amount[i]
    }
    if len(g[i]) == 1 && g[i][0] == fa {
      ans = max(ans, v)
      return
    }
    for _, j := range g[i] {
      if j != fa {
        dfs2(j, i, t+1, v)
      }
    }
  }
  dfs2(0, -1, 0, 0)
  return ans
}