Question

二叉树的概念

如果树中的每一个节点最多只能有两个子节点，这样的树就称为二叉树。

二叉树的组成

• 二叉树可以为空，也就是没有节点；
• 若二叉树不为空，则它由根节点和称为其左子树 TL 和右子树 TR 的两个不相交的二叉树组成；

二叉树的五种形态

上图分别表示：

• a 空的二叉树
• b 只有一个节点的二叉树
• c 只有左子树 TL 的二叉树
• d 只有右子树 TR 的二叉树
• e 有左右两个子树的二叉树。

二叉树的特性

• 一个二叉树的第 i 层的最大节点树为：2^(i-1)^，i >= 1；
• 深度为 k 的二叉树的最大节点总数为：2^k^ - 1，k >= 1；
• 对任何非空二叉树，若 n~0~ 表示叶子节点的个数，n~2~表示度为 2 的非叶子节点个数，那么两者满足关系：n~0~ = n~2~ + 1； 如下图所示：H，E，I，J，G 为叶子节点，总数为 5；A，B，C，F 为度为 2 的非叶子节点，总数为 4；满足 n~0~ = n~2~ + 1 的规律。

特殊的二叉树

完美二叉树

完美二叉树（Perfect Binary Tree）也成为满二叉树（Full Binary Tree），在二叉树中，除了最下一层的叶子节点外，每层节点都有 2 个子节点，这就构成了完美二叉树。

完全二叉树

完全二叉树（Complete Binary Tree）:

• 除了二叉树最后一层外，其他各层的节点数都达到了最大值；
• 并且，最后一层的叶子节点从左向右是连续存在，只缺失右侧若干叶子节点；
• 完美二叉树是特殊的完全二叉树；

在上图中，由于 H 缺失了右子节点，所以它不是完全二叉树。

二叉树的数据存储

常见的二叉树存储方式为数组和链表：

使用数组

• 完全二叉树：按从上到下，从左到右的方式存储数据。

节点	A	B	C	D	E	F	G	H	I
序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9

使用数组存储时，取数据的时候也十分方便：左子节点的序号等于父节点序号 2，右子节点的序号等于父节点序号 2 + 1。

• 非完全二叉树：非完全二叉树需要转换成完全二叉树才能按照上面的方案存储，这样会浪费很大的存储空间。

节点	A	B	C	^	^	F	^	^	^	^	^	^	M
序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

使用链表

二叉树最常见的存储方式为链表：每一个节点封装成一个 Node，Node 中包含存储的数据、左节点的引用和右节点的引用。