Question

547. 省份数量

English Version

题目描述

有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。

省份 是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。

给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。

返回矩阵中 省份 的数量。

 

示例 1：

输入：isConnected = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]]
输出：2

示例 2：

输入：isConnected = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]
输出：3

 

提示：

• 1 <= n <= 200
• n == isConnected.length
• n == isConnected[i].length
• isConnected[i][j] 为 1 或 0
• isConnected[i][i] == 1
• isConnected[i][j] == isConnected[j][i]

解法

方法一：DFS

我们创建一个数组 $vis$，用于记录每个城市是否被访问过。

接下来，遍历每个城市 $i$，如果该城市未被访问过，则从该城市开始深度优先搜索，通过矩阵 $isConnected$ 得到与该城市直接相连的城市有哪些，这些城市和该城市属于同一个省，然后对这些城市继续深度优先搜索，直到同一个省的所有城市都被访问到，即可得到一个省，将答案 $ans$ 加 $1$，然后遍历下一个未被访问过的城市，直到遍历完所有的城市。

最后返回答案即可。

时间复杂度 $O(n^2)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是城市的数量。

class Solution:
  def findCircleNum(self, isConnected: List[List[int]]) -> int:
    def dfs(i: int):
      vis[i] = True
      for j, x in enumerate(isConnected[i]):
        if not vis[j] and x:
          dfs(j)

    n = len(isConnected)
    vis = [False] * n
    ans = 0
    for i in range(n):
      if not vis[i]:
        dfs(i)
        ans += 1
    return ans

class Solution {
  private int[][] g;
  private boolean[] vis;

  public int findCircleNum(int[][] isConnected) {
    g = isConnected;
    int n = g.length;
    vis = new boolean[n];
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (!vis[i]) {
        dfs(i);
        ++ans;
      }
    }
    return ans;
  }

  private void dfs(int i) {
    vis[i] = true;
    for (int j = 0; j < g.length; ++j) {
      if (!vis[j] && g[i][j] == 1) {
        dfs(j);
      }
    }
  }
}

class Solution {
public:
  int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
    int n = isConnected.size();
    int ans = 0;
    bool vis[n];
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    function<void(int)> dfs = [&](int i) {
      vis[i] = true;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (!vis[j] && isConnected[i][j]) {
          dfs(j);
        }
      }
    };
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (!vis[i]) {
        dfs(i);
        ++ans;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func findCircleNum(isConnected [][]int) (ans int) {
  n := len(isConnected)
  vis := make([]bool, n)
  var dfs func(int)
  dfs = func(i int) {
    vis[i] = true
    for j, x := range isConnected[i] {
      if !vis[j] && x == 1 {
        dfs(j)
      }
    }
  }
  for i, v := range vis {
    if !v {
      ans++
      dfs(i)
    }
  }
  return
}

function findCircleNum(isConnected: number[][]): number {
  const n = isConnected.length;
  const vis: boolean[] = new Array(n).fill(false);
  const dfs = (i: number) => {
    vis[i] = true;
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      if (!vis[j] && isConnected[i][j]) {
        dfs(j);
      }
    }
  };
  let ans = 0;
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    if (!vis[i]) {
      dfs(i);
      ++ans;
    }
  }
  return ans;
}

impl Solution {
  fn dfs(is_connected: &mut Vec<Vec<i32>>, vis: &mut Vec<bool>, i: usize) {
    vis[i] = true;
    for j in 0..is_connected.len() {
      if vis[j] || is_connected[i][j] == 0 {
        continue;
      }
      Self::dfs(is_connected, vis, j);
    }
  }

  pub fn find_circle_num(mut is_connected: Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
    let n = is_connected.len();
    let mut vis = vec![false; n];
    let mut res = 0;
    for i in 0..n {
      if vis[i] {
        continue;
      }
      res += 1;
      Self::dfs(&mut is_connected, &mut vis, i);
    }
    res
  }
}

方法二：并查集

我们也可以用并查集维护每个连通分量，初始时，每个城市都属于不同的连通分量，所以省份数量为 $n$。

接下来，遍历矩阵 $isConnected$，如果两个城市 $(i, j)$ 之间有相连关系，并且处于两个不同的连通分量，则它们将被合并成为一个连通分量，然后将省份数量减去 $1$。

最后返回省份数量即可。

时间复杂度 $O(n^2 \times \alpha(n))$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是城市的数量，而 $\alpha$ 是阿克曼函数的反函数，在渐进意义下 $\alpha(n)$ 可以认为是一个很小的常数。

class Solution:
  def findCircleNum(self, isConnected: List[List[int]]) -> int:
    def find(x: int) -> int:
      if p[x] != x:
        p[x] = find(p[x])
      return p[x]

    n = len(isConnected)
    p = list(range(n))
    ans = n
    for i in range(n):
      for j in range(i + 1, n):
        if isConnected[i][j]:
          pa, pb = find(i), find(j)
          if pa != pb:
            p[pa] = pb
            ans -= 1
    return ans

class Solution {
  private int[] p;

  public int findCircleNum(int[][] isConnected) {
    int n = isConnected.length;
    p = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      p[i] = i;
    }
    int ans = n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        if (isConnected[i][j] == 1) {
          int pa = find(i), pb = find(j);
          if (pa != pb) {
            p[pa] = pb;
            --ans;
          }
        }
      }
    }
    return ans;
  }

  private int find(int x) {
    if (p[x] != x) {
      p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x];
  }
}

class Solution {
public:
  int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
    int n = isConnected.size();
    int p[n];
    iota(p, p + n, 0);
    function<int(int)> find = [&](int x) -> int {
      if (p[x] != x) {
        p[x] = find(p[x]);
      }
      return p[x];
    };
    int ans = n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
        if (isConnected[i][j]) {
          int pa = find(i), pb = find(j);
          if (pa != pb) {
            p[pa] = pb;
            --ans;
          }
        }
      }
    }
    return ans;
  }
};

func findCircleNum(isConnected [][]int) (ans int) {
  n := len(isConnected)
  p := make([]int, n)
  for i := range p {
    p[i] = i
  }
  var find func(x int) int
  find = func(x int) int {
    if p[x] != x {
      p[x] = find(p[x])
    }
    return p[x]
  }
  ans = n
  for i := 0; i < n; i++ {
    for j := 0; j < n; j++ {
      if isConnected[i][j] == 1 {
        pa, pb := find(i), find(j)
        if pa != pb {
          p[pa] = pb
          ans--
        }
      }
    }
  }
  return
}

function findCircleNum(isConnected: number[][]): number {
  const n = isConnected.length;
  const p: number[] = new Array(n);
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    p[i] = i;
  }
  const find = (x: number): number => {
    if (p[x] !== x) {
      p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x];
  };
  let ans = n;
  for (let i = 0; i < n; ++i) {
    for (let j = i + 1; j < n; ++j) {
      if (isConnected[i][j]) {
        const pa = find(i);
        const pb = find(j);
        if (pa !== pb) {
          p[pa] = pb;
          --ans;
        }
      }
    }
  }
  return ans;
}