Question

2478. 完美分割的方案数

English Version

题目描述

给你一个字符串 s ，每个字符是数字 '1' 到 '9' ，再给你两个整数 k 和 minLength 。

如果对 s 的分割满足以下条件，那么我们认为它是一个 完美 分割：

• s 被分成 k 段互不相交的子字符串。
• 每个子字符串长度都 至少 为 minLength 。
• 每个子字符串的第一个字符都是一个 质数 数字，最后一个字符都是一个 非质数 数字。质数数字为 '2' ，'3' ，'5' 和 '7' ，剩下的都是非质数数字。

请你返回 s 的 完美 分割数目。由于答案可能很大，请返回答案对 109 + 7 取余 后的结果。

一个 子字符串 是字符串中一段连续字符串序列。

 

示例 1：

输入：s = "23542185131", k = 3, minLength = 2
输出：3
解释：存在 3 种完美分割方案：
"2354 | 218 | 5131"
"2354 | 21851 | 31"
"2354218 | 51 | 31"

示例 2：

输入：s = "23542185131", k = 3, minLength = 3
输出：1
解释：存在一种完美分割方案："2354 | 218 | 5131" 。

示例 3：

输入：s = "3312958", k = 3, minLength = 1
输出：1
解释：存在一种完美分割方案："331 | 29 | 58" 。

 

提示：

• 1 <= k, minLength <= s.length <= 1000
• s 每个字符都为数字 '1' 到 '9' 之一。

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个字符分割成 $j$ 段的方案数。初始化 $f[0][0] = 1$，其余 $f[i][j] = 0$。

首先，我们需要判断第 $i$ 个字符是否能成为第 $j$ 段的最后一个字符，它需要同时满足以下条件：

1. 第 $i$ 个字符是一个非质数；
2. 第 $i+1$ 个字符是一个质数，或者第 $i$ 个字符是整个字符串的最后一个字符。

如果第 $i$ 个字符不能成为第 $j$ 段的最后一个字符，那么 $f[i][j]=0$。否则有：

$$ f[i][j]=\sum_{t=0}^{i-minLength}f[t][j-1] $$

也就是说，我们要枚举上一段的结尾是哪个字符。这里我们用前缀和数组 $g[i][j] = \sum_{t=0}^{i}f[t][j]$ 来优化枚举的时间复杂度。

那么有：

$$ f[i][j]=g[i-minLength][j-1] $$

时间复杂度 $O(n \times k)$，空间复杂度 $O(n \times k)$。其中 $n$ 和 $k$ 分别是字符串 $s$ 的长度和分割的段数。

class Solution:
  def beautifulPartitions(self, s: str, k: int, minLength: int) -> int:
    primes = '2357'
    if s[0] not in primes or s[-1] in primes:
      return 0
    mod = 10**9 + 7
    n = len(s)
    f = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    g = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    f[0][0] = g[0][0] = 1
    for i, c in enumerate(s, 1):
      if i >= minLength and c not in primes and (i == n or s[i] in primes):
        for j in range(1, k + 1):
          f[i][j] = g[i - minLength][j - 1]
      for j in range(k + 1):
        g[i][j] = (g[i - 1][j] + f[i][j]) % mod
    return f[n][k]

class Solution {
  public int beautifulPartitions(String s, int k, int minLength) {
    int n = s.length();
    if (!prime(s.charAt(0)) || prime(s.charAt(n - 1))) {
      return 0;
    }
    int[][] f = new int[n + 1][k + 1];
    int[][] g = new int[n + 1][k + 1];
    f[0][0] = 1;
    g[0][0] = 1;
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      if (i >= minLength && !prime(s.charAt(i - 1)) && (i == n || prime(s.charAt(i)))) {
        for (int j = 1; j <= k; ++j) {
          f[i][j] = g[i - minLength][j - 1];
        }
      }
      for (int j = 0; j <= k; ++j) {
        g[i][j] = (g[i - 1][j] + f[i][j]) % mod;
      }
    }
    return f[n][k];
  }

  private boolean prime(char c) {
    return c == '2' || c == '3' || c == '5' || c == '7';
  }
}

class Solution {
public:
  int beautifulPartitions(string s, int k, int minLength) {
    int n = s.size();
    auto prime = [](char c) {
      return c == '2' || c == '3' || c == '5' || c == '7';
    };
    if (!prime(s[0]) || prime(s[n - 1])) return 0;
    vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(k + 1));
    vector<vector<int>> g(n + 1, vector<int>(k + 1));
    f[0][0] = g[0][0] = 1;
    const int mod = 1e9 + 7;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      if (i >= minLength && !prime(s[i - 1]) && (i == n || prime(s[i]))) {
        for (int j = 1; j <= k; ++j) {
          f[i][j] = g[i - minLength][j - 1];
        }
      }
      for (int j = 0; j <= k; ++j) {
        g[i][j] = (g[i - 1][j] + f[i][j]) % mod;
      }
    }
    return f[n][k];
  }
};

func beautifulPartitions(s string, k int, minLength int) int {
  prime := func(c byte) bool {
    return c == '2' || c == '3' || c == '5' || c == '7'
  }
  n := len(s)
  if !prime(s[0]) || prime(s[n-1]) {
    return 0
  }
  const mod int = 1e9 + 7
  f := make([][]int, n+1)
  g := make([][]int, n+1)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, k+1)
    g[i] = make([]int, k+1)
  }
  f[0][0], g[0][0] = 1, 1
  for i := 1; i <= n; i++ {
    if i >= minLength && !prime(s[i-1]) && (i == n || prime(s[i])) {
      for j := 1; j <= k; j++ {
        f[i][j] = g[i-minLength][j-1]
      }
    }
    for j := 0; j <= k; j++ {
      g[i][j] = (g[i-1][j] + f[i][j]) % mod
    }
  }
  return f[n][k]
}

function beautifulPartitions(s: string, k: number, minLength: number): number {
  const prime = (c: string): boolean => {
    return c === '2' || c === '3' || c === '5' || c === '7';
  };

  const n: number = s.length;
  if (!prime(s[0]) || prime(s[n - 1])) return 0;

  const f: number[][] = new Array(n + 1).fill(0).map(() => new Array(k + 1).fill(0));
  const g: number[][] = new Array(n + 1).fill(0).map(() => new Array(k + 1).fill(0));
  const mod: number = 1e9 + 7;

  f[0][0] = g[0][0] = 1;

  for (let i = 1; i <= n; ++i) {
    if (i >= minLength && !prime(s[i - 1]) && (i === n || prime(s[i]))) {
      for (let j = 1; j <= k; ++j) {
        f[i][j] = g[i - minLength][j - 1];
      }
    }
    for (let j = 0; j <= k; ++j) {
      g[i][j] = (g[i - 1][j] + f[i][j]) % mod;
    }
  }

  return f[n][k];
}