Question

我们每个人都希望身体健康，虽然疾病能够预防，但是不可避免，没有任何成年人生下来到现在没有生过一次病。

从刚才除留余数法的例子也可以看出，我们设计得再好的散列函数也不可能完全避免冲突，这就像我们再健康也只能尽量预防疾病，但却无法保证永远不得病一样，既然冲突不能避免，就要考虑如何处理它。

那么当我们在使用散列函数后发现两个关键字key₁≠key₂，但是却有f(key₁)=f(key₂)，即有冲突时，怎么办呢？我们可以从生活中找寻思路。

试想一下，当你观望很久很久，终于看上一套房打算要买了，正准备下订金，人家告诉你，这房子已经被人买走了，你怎么办？

对呀，再找别的房子呗！这其实就是一种处理冲突的方法——开放定址法。

8.11.1　开放定址法

所谓的开放定址法就是一旦发生了冲突，就去寻找下一个空的散列地址，只要散列表足够大，空的散列地址总能找到，并将记录存入。

它的公式是：

fi(key)=(f(key)+di)MOD m(di=1,2,3,......,m-1)

比如说，我们的关键字集合为{12,67,56,16,25,37,22,29,15,47,48,34}，表长为12。我们用散列函数f(key)=key mod 12。

当计算前5个数{12,67,56,16,25}时，都是没有冲突的散列地址，直接存入，如表8-11-1所示。

表8-11-1

计算key=37时，发现f(37)=1，此时就与25所在的位置冲突。于是我们应用上面的公式f(37)=(f(37)+1)mod 12=2。于是将37存入下标为2的位置。这其实就是房子被人买了于是买下一间的作法，如表8-11-2所示。

表8-11-2

接下来22,29,15,47都没有冲突，正常的存入，如表8-11-3所示。

表8-11-3

到了key=48，我们计算得到f(48)=0，与12所在的0位置冲突了，不要紧，我们f(48)=(f(48)+1)mod 12=1，此时又与25所在的位置冲突。于是f(48)=(f(48)+2)mod 12=2，还是冲突……一直到f(48)=(f(48)+6)mod 12=6时，才有空位，机不可失，赶快存入，如表8-11-4所示。

表8-11-4

我们把这种解决冲突的开放定址法称为线性探测法。

从这个例子我们也看到，我们在解决冲突的时候，还会碰到如48和37这种本来都不是同义词却需要争夺一个地址的情况，我们称这种现象为堆积。很显然，堆积的出现，使得我们需要不断处理冲突，无论是存入还是查找效率都会大大降低。

考虑深一步，如果发生这样的情况，当最后一个key=34，f(key)=10，与22所在的位置冲突，可是22后面没有空位置了，反而它的前面有一个空位置，尽管可以不断地求余数后得到结果，但效率很差。因此我们可以改进d_i=1₂,-1₂,2₂,-2₂,......,q₂,-q₂,(q≤m/2)，这样就等于是可以双向寻找到可能的空位置。对于34来说，我们取d

i=-1即可找到空位置了。另外增加平方运算的目的是为了不让关键字都聚集在某一块区域。我们称这种方法为二次探测法。

fi(key)=(f(key)+di)MOD m(di=12,-12,22,-22,...,q2,-q2,q≤m/2)

还有一种方法是，在冲突时，对于位移量d_i采用随机函数计算得到，我们称之为随机探测法。

此时一定有人问，既然是随机，那么查找的时候不也随机生成d_i吗？如何可以获得相同的地址呢？这是个问题。这里的随机其实是伪随机数。伪随机数是说，如果我们设置随机种子相同，则不断调用随机函数可以生成不会重复的数列，我们在查找时，用同样的随机种子，它每次得到的数列是相同的，相同的d_i当然可以得到相同的散列地址。

嗯？随机种子又不知道？罢了罢了，不懂的还是去查阅资料吧，我不能在课上没完没了的介绍这些基础知识呀。

fi(key)=(f(key)+di)MOD m(di是一个随机数列)

总之，开放定址法只要在散列表未填满时，总是能找到不发生冲突的地址，是我们常用的解决冲突的办法。

8.11.2　再散列函数法

我们继续用买房子来举例，如果你看房时的选择标准总是以市中心、交通便利、价格适中为指标，这样的房子凤毛麟角，基本上当你看到时，都已经被人买去了。

我们不妨换一种思维，选择市郊的房子，交通尽管要差一些，但价格便宜很多，也许房子还可以买得大一些、质量好一些，并且由于更换了选房的想法，很快就找到了你需要的房子了。

对于我们的散列表来说，我们事先准备多个散列函数。

fi(key)=RHi(key)(i=1,2,...,k)

这里RH_i就是不同的散列函数，你可以把我们前面说的什么除留余数、折叠、平方取中全部用上。每当发生散列地址冲突时，就换一个散列函数计算，相信总会有一个可以把冲突解决掉。这种方法能够使得关键字不产生聚集，当然，相应地也增加了计算的时间。

8.11.3　链地址法

思路还可以再换一换，为什么有冲突就要换地方呢，我们直接就在原地想办法不可以吗？于是我们就有了链地址法。

将所有关键字为同义词的记录存储在一个单链表中，我们称这种表为同义词子表，在散列表中只存储所有同义词子表的头指针。对于关键字集合{12,67,56,16,25,37,22,29,15,47,48,34}，我们用前面同样的12为除数，进行除留余数法，可得到如图8-11-1结构，此时，已经不存在什么冲突换址的问题，无论有多少个冲突，都只是在当前位置给单链表增加结点的问题。

图8-11-1

链地址法对于可能会造成很多冲突的散列函数来说，提供了绝不会出现找不到地址的保障。当然，这也就带来了查找时需要遍历单链表的性能损耗。

8.11.4　公共溢出区法

这个方法其实就更加好理解，你不是冲突吗？好吧，凡是冲突的都跟我走，我给你们这些冲突找个地儿待着。这就如同孤儿院收留所有无家可归的孩子一样，我们为所有冲突的关键字建立了一个公共的溢出区来存放。

就前面的例子而言，我们共有三个关键字{37,48,34}与之前的关键字位置有冲突，那么就将它们存储到溢出表中，如图8-11-2所示。

图8-11-2

在查找时，对给定值通过散列函数计算出散列地址后，先与基本表的相应位置进行比对，如果相等，则查找成功；如果不相等，则到溢出表去进行顺序查找。如果相对于基本表而言，有冲突的数据很少的情况下，公共溢出区的结构对查找性能来说还是非常高的。