Question

1575. 统计所有可行路径

English Version

题目描述

给你一个 互不相同 的整数数组，其中 locations[i] 表示第 i 个城市的位置。同时给你 start，finish 和 fuel 分别表示出发城市、目的地城市和你初始拥有的汽油总量

每一步中，如果你在城市 i ，你可以选择任意一个城市 j ，满足  j != i 且 0 <= j < locations.length ，并移动到城市 j 。从城市 i 移动到 j 消耗的汽油量为 |locations[i] - locations[j]|，|x| 表示 x 的绝对值。

请注意， fuel 任何时刻都 不能 为负，且你 可以 经过任意城市超过一次（包括 start 和 finish ）。

请你返回从_ _start 到 finish 所有可能路径的数目。

由于答案可能很大， 请将它对 10^9 + 7 取余后返回。

 

示例 1：

输入：locations = [2,3,6,8,4], start = 1, finish = 3, fuel = 5
输出：4
解释：以下为所有可能路径，每一条都用了 5 单位的汽油：
1 -> 3
1 -> 2 -> 3
1 -> 4 -> 3
1 -> 4 -> 2 -> 3

示例 2：

输入：locations = [4,3,1], start = 1, finish = 0, fuel = 6
输出：5
解释：以下为所有可能的路径：
1 -> 0，使用汽油量为 fuel = 1
1 -> 2 -> 0，使用汽油量为 fuel = 5
1 -> 2 -> 1 -> 0，使用汽油量为 fuel = 5
1 -> 0 -> 1 -> 0，使用汽油量为 fuel = 3
1 -> 0 -> 1 -> 0 -> 1 -> 0，使用汽油量为 fuel = 5

示例 3：

输入：locations = [5,2,1], start = 0, finish = 2, fuel = 3
输出：0
解释：没有办法只用 3 单位的汽油从 0 到达 2 。因为最短路径需要 4 单位的汽油。

 

提示：

• 2 <= locations.length <= 100
• 1 <= locations[i] <= 109
• 所有 locations 中的整数 互不相同 。
• 0 <= start, finish < locations.length
• 1 <= fuel <= 200

解法

方法一：记忆化搜索

我们设计一个函数 $dfs(i, k)$，表示从城市 $i$ 出发，剩余汽油量为 $k$ 时，到达目的地 $finish$ 的路径数。那么答案就是 $dfs(start, fuel)$。

函数 $dfs(i, k)$ 的计算过程如下：

• 如果 $k \lt |locations[i] - locations[finish]|$，那么返回 $0$。
• 如果 $i = finish$，那么答案路径数初始时为 $1$，否则为 $0$。
• 然后，我们遍历所有城市 $j$，如果 $j \ne i$，那么我们可以从城市 $i$ 移动到城市 $j$，此时剩余汽油量为 $k - |locations[i] - locations[j]|$，那么我们可以将答案路径数加上 $dfs(j, k - |locations[i] - locations[j]|)$。
• 最后，我们返回答案路径数。

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索。

时间复杂度 $O(n^2 \times m)$，空间复杂度 $O(n \times m)$。其中 $n$ 和 $m$ 分别是数组 $locations$ 和 $fuel$ 的大小。

class Solution:
  def countRoutes(
    self, locations: List[int], start: int, finish: int, fuel: int
  ) -> int:
    @cache
    def dfs(i: int, k: int) -> int:
      if k < abs(locations[i] - locations[finish]):
        return 0
      ans = int(i == finish)
      for j, x in enumerate(locations):
        if j != i:
          ans = (ans + dfs(j, k - abs(locations[i] - x))) % mod
      return ans

    mod = 10**9 + 7
    return dfs(start, fuel)

class Solution {
  private int[] locations;
  private int finish;
  private int n;
  private Integer[][] f;
  private final int mod = (int) 1e9 + 7;

  public int countRoutes(int[] locations, int start, int finish, int fuel) {
    n = locations.length;
    this.locations = locations;
    this.finish = finish;
    f = new Integer[n][fuel + 1];
    return dfs(start, fuel);
  }

  private int dfs(int i, int k) {
    if (k < Math.abs(locations[i] - locations[finish])) {
      return 0;
    }
    if (f[i][k] != null) {
      return f[i][k];
    }
    int ans = i == finish ? 1 : 0;
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      if (j != i) {
        ans = (ans + dfs(j, k - Math.abs(locations[i] - locations[j]))) % mod;
      }
    }
    return f[i][k] = ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int countRoutes(vector<int>& locations, int start, int finish, int fuel) {
    int n = locations.size();
    int f[n][fuel + 1];
    memset(f, -1, sizeof(f));
    const int mod = 1e9 + 7;
    function<int(int, int)> dfs = [&](int i, int k) -> int {
      if (k < abs(locations[i] - locations[finish])) {
        return 0;
      }
      if (f[i][k] != -1) {
        return f[i][k];
      }
      int ans = i == finish;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (j != i) {
          ans = (ans + dfs(j, k - abs(locations[i] - locations[j]))) % mod;
        }
      }
      return f[i][k] = ans;
    };
    return dfs(start, fuel);
  }
};

func countRoutes(locations []int, start int, finish int, fuel int) int {
  n := len(locations)
  f := make([][]int, n)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, fuel+1)
    for j := range f[i] {
      f[i][j] = -1
    }
  }
  const mod = 1e9 + 7
  var dfs func(int, int) int
  dfs = func(i, k int) (ans int) {
    if k < abs(locations[i]-locations[finish]) {
      return 0
    }
    if f[i][k] != -1 {
      return f[i][k]
    }
    if i == finish {
      ans = 1
    }
    for j, x := range locations {
      if j != i {
        ans = (ans + dfs(j, k-abs(locations[i]-x))) % mod
      }
    }
    f[i][k] = ans
    return
  }
  return dfs(start, fuel)
}

func abs(x int) int {
  if x < 0 {
    return -x
  }
  return x
}

function countRoutes(locations: number[], start: number, finish: number, fuel: number): number {
  const n = locations.length;
  const f = Array.from({ length: n }, () => Array(fuel + 1).fill(-1));
  const mod = 1e9 + 7;
  const dfs = (i: number, k: number): number => {
    if (k < Math.abs(locations[i] - locations[finish])) {
      return 0;
    }
    if (f[i][k] !== -1) {
      return f[i][k];
    }
    let ans = i === finish ? 1 : 0;
    for (let j = 0; j < n; ++j) {
      if (j !== i) {
        const x = Math.abs(locations[i] - locations[j]);
        ans = (ans + dfs(j, k - x)) % mod;
      }
    }
    return (f[i][k] = ans);
  };
  return dfs(start, fuel);
}

方法二：动态规划

我们也可以将方法一的记忆化搜索转换为动态规划。

我们定义 $f[i][k]$ 表示从城市 $i$ 出发，剩余汽油量为 $k$ 时，到达目的地 $finish$ 的路径数。那么答案就是 $f[start][fuel]$。初始时 $f[finish][k]=1$，其余均为 $0$。

接下来，我们从小到大枚举剩余汽油量 $k$，然后枚举所有的城市 $i$，对于每个城市 $i$，我们枚举所有的城市 $j$，如果 $j \ne i$，并且 $|locations[i] - locations[j]| \le k$，那么我们可以从城市 $i$ 移动到城市 $j$，此时剩余汽油量为 $k - |locations[i] - locations[j]|$，那么我们可以将答案路径数加上 $f[j][k - |locations[i] - locations[j]|]$。

最后，我们返回答案路径数 $f[start][fuel]$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2 \times m)$，空间复杂度 $O(n \times m)$。其中 $n$ 和 $m$ 分别是数组 $locations$ 和 $fuel$ 的大小。

class Solution:
  def countRoutes(
    self, locations: List[int], start: int, finish: int, fuel: int
  ) -> int:
    mod = 10**9 + 7
    n = len(locations)
    f = [[0] * (fuel + 1) for _ in range(n)]
    for k in range(fuel + 1):
      f[finish][k] = 1
    for k in range(fuel + 1):
      for i in range(n):
        for j in range(n):
          if j != i and abs(locations[i] - locations[j]) <= k:
            f[i][k] = (
              f[i][k] + f[j][k - abs(locations[i] - locations[j])]
            ) % mod
    return f[start][fuel]

class Solution {
  public int countRoutes(int[] locations, int start, int finish, int fuel) {
    final int mod = (int) 1e9 + 7;
    int n = locations.length;
    int[][] f = new int[n][fuel + 1];
    for (int k = 0; k <= fuel; ++k) {
      f[finish][k] = 1;
    }
    for (int k = 0; k <= fuel; ++k) {
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
          if (j != i && Math.abs(locations[i] - locations[j]) <= k) {
            f[i][k] = (f[i][k] + f[j][k - Math.abs(locations[i] - locations[j])]) % mod;
          }
        }
      }
    }
    return f[start][fuel];
  }
}

class Solution {
public:
  int countRoutes(vector<int>& locations, int start, int finish, int fuel) {
    const int mod = 1e9 + 7;
    int n = locations.size();
    int f[n][fuel + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for (int k = 0; k <= fuel; ++k) {
      f[finish][k] = 1;
    }
    for (int k = 0; k <= fuel; ++k) {
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
          if (j != i && abs(locations[i] - locations[j]) <= k) {
            f[i][k] = (f[i][k] + f[j][k - abs(locations[i] - locations[j])]) % mod;
          }
        }
      }
    }
    return f[start][fuel];
  }
};

func countRoutes(locations []int, start int, finish int, fuel int) int {
  n := len(locations)
  const mod = 1e9 + 7
  f := make([][]int, n)
  for i := range f {
    f[i] = make([]int, fuel+1)
  }
  for k := 0; k <= fuel; k++ {
    f[finish][k] = 1
  }
  for k := 0; k <= fuel; k++ {
    for i := 0; i < n; i++ {
      for j := 0; j < n; j++ {
        if j != i && abs(locations[i]-locations[j]) <= k {
          f[i][k] = (f[i][k] + f[j][k-abs(locations[i]-locations[j])]) % mod
        }
      }
    }
  }
  return f[start][fuel]
}

func abs(x int) int {
  if x < 0 {
    return -x
  }
  return x
}

function countRoutes(locations: number[], start: number, finish: number, fuel: number): number {
  const n = locations.length;
  const f = Array.from({ length: n }, () => Array(fuel + 1).fill(0));
  for (let k = 0; k <= fuel; ++k) {
    f[finish][k] = 1;
  }
  const mod = 1e9 + 7;
  for (let k = 0; k <= fuel; ++k) {
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
      for (let j = 0; j < n; ++j) {
        if (j !== i && Math.abs(locations[i] - locations[j]) <= k) {
          f[i][k] = (f[i][k] + f[j][k - Math.abs(locations[i] - locations[j])]) % mod;
        }
      }
    }
  }
  return f[start][fuel];
}