Question

在第2.7节，我们探讨了如何将矩阵分解成特征向量和特征值。还有另一种分解矩阵的方法，称为奇异值分解（singular value decomposition，SVD），是将矩阵分解为奇异向量（singular vector）和奇异值（singular value）。通过奇异值分解，我们会得到一些与特征分解相同类型的信息。然而，奇异值分解有更广泛的应用。每个实数矩阵都有一个奇异值分解，但不一定都有特征分解。例如，非方阵的矩阵没有特征分解，这时我们只能使用奇异值分解。

回想一下，我们使用特征分解去分析矩阵A时，得到特征向量构成的矩阵V和特征值构成的向量λ，我们可以重新将A写作

奇异值分解是类似的，只不过这回我们将矩阵A分解成三个矩阵的乘积：

假设A是一个m×n的矩阵，那么U是一个m×m的矩阵，D是一个m×n的矩阵，V是一个n×n矩阵。

这些矩阵中的每一个经定义后都拥有特殊的结构。矩阵U和V都定义为正交矩阵，而矩阵D定义为对角矩阵。注意，矩阵D不一定是方阵。

对角矩阵D对角线上的元素称为矩阵A的奇异值（singular value）。矩阵U的列向量称为左奇异向量（left singular vector），矩阵V的列向量称右奇异向量（right singular vector）。

事实上，我们可以用与A相关的特征分解去解释A的奇异值分解。A的左奇异向量（left singular vector）是的特征向量。A的右奇异向量（right singular vector）是的特征向量。A的非零奇异值是特征值的平方根，同时也是特征值的平方根。

SVD最有用的一个性质可能是拓展矩阵求逆到非方矩阵上。我们将在下一节中探讨。