Question

MATLAB提供了解决微分和积分微积分问题的各种方法，解决了任意度数的微分方程和极限的计算。 最重要的是，您可以通过求解原始函数及其导数，轻松绘制复杂函数的图形并检查图形上的最大值，最小值和其他文具点。

本章将讨论微积分问题。 在本章中，我们将讨论预演算概念，即计算函数的极限和验证极限的性质。

在下一章“ Differential ，我们将计算表达式的导数并在图形上找到局部最大值和最小值。 我们还将讨论求解微分方程。

最后，在Integration一章中，我们将讨论积分计算。

计算限制

MATLAB提供了计算限制的limit功能。 在最基本的形式中， limit函数将表达式作为参数，并在独立变量变为零时查找表达式的限制。

例如，让我们计算函数f（x）=（x ³ + 5）/（x ⁴ + 7）的^极限 ，因为x趋于零。

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   5/7

限制函数属于符号计算领域; 你需要使用syms函数告诉MATLAB你正在使用哪些符号变量。 您还可以计算函数的限制，因为变量趋向于除零之外的某个数字。 要计算lim _x-“a （f（x）），我们使用带有参数的limit命令。 第一个是表达式，第二个是数字， x接近，这里是a 。

例如，让我们计算函数f（x）=（x-3）/（x-1）的极限，因为x趋于1。

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   NaN

让我们再看一个例子，

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   14

使用Octave计算限制

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，尝试执行并比较结果 -

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave将执行上述声明并返回以下结果 -

ans =
   0.7142857142857142857

限制基本属性的验证

代数极限定理提供了极限的一些基本属性。 这些如下 -

让我们考虑两个功能 -

• f（x）=（3x + 5）/（x - 3）
• g（x）= x ² + 1。

让我们计算两个函数中x趋于5的函数的极限，并使用这两个函数和MATLAB验证极限的基本属性。

例子 (Example)

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码 -

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

当您运行该文件时，它显示 -

l1 =
   17
l2 =
   17
lAdd =
   34
lSub =
   0
lMult =
   289
lDiv =
   1

用Octave验证极限的基本性质

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，尝试执行并比较结果 -

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave将执行上述声明并返回以下结果 -

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

左右两侧限制

当函数对某个特定的变量值具有不连续性时，该点上不存在该限制。 换句话说，函数f（x）的极限在x = a时具有不连续性，当x从左侧接近x时，极限值不等于x从右侧接近时的极限值。

这导致左手和右手限制的概念。 对于x a，从左边开始，即x接近a。 对于x> a的值，右手限制被定义为x - > a，从右边开始，即x接近a。 当左手限制和右手限制不相等时，限制不存在。

让我们考虑一个功能 -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

我们将证明lim _x-“3 f（x）不存在。 MATLAB帮助我们以两种方式建立这一事实 -

• 通过绘制函数图并显示不连续性。
• 通过计算限制并显示两者都不同。

通过将字符串“left”和“right”作为最后一个参数传递给limit命令来计算左手和右手限制。

例子 (Example)

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码 -

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

运行该文件时，MATLAB绘制以下图表

在此之后显示输出 -

l =
   -1
r =
   1