Question

记载数量

想要记载一个数量，最直观的方式是：一个符号、重複数次。

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第一种技术：分堆

一个个数，太花时间。为了节省时间，可以尝试分堆。最常见的分堆方式，是十个一堆。如果有很多堆，那麽十堆再合成一大堆；如果有很多大堆，那麽十大堆再合成一大大堆；以此类推。

hard way:
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easy way:
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以此类推的过程，我们习惯採用固定数量，这个数量称做“底数 Base”。例如上例的底数就是十。

然而也有例外。例如时间：六十秒一分、六十分一时、二十四时一日，底数不是固定数量。

第二个技术：命名

一个个数，太花时间。为了节省时间，可以替每种数量取不一样的名字；换句话说，用不一样的符号代替每种数量。

长长一串数量，变成短短一个符号，人生充满欢乐！

第三个技术：位数

然而，越多符号，越难背诵。你能想像背诵一百种符号代替一百种数量吗？符号还是少点好。

解法是同时使用第一个技术和第二个技术，令符号数量等于底数。例如底数是十，可以使用 0123456789 等十个符号。当数量大于等于十，十个形成一堆，记载在左边一点的位置，变成 10。当数量累积十堆，十堆形成一大堆，记载在更左边一点的位置，变成 100。这是地球上最流行的记载方式。

除了替每一种数量取名字，有些语言还会替每一种数量级取名字，让数字之间穿插数量级符号。这是题外话。

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英文：one hundred thirty-two      （hundred 是数量级的符号）
中文：一百三十二                  （百、十是数量级的符号）

选择底数

我们可以选择自己喜欢的底数。底数不能是零、不能是一。底数是二，称做“二进位”，使用 01 两个符号。底数是三，称作“三进位”，使用 012 三个符号。底数是十六，称做“十六进位”，使用 0123456789ABCDEF 十六个符号。底数超过三十六，那麽必须额外引入一些符号，才够用。

底数写于数字的右下角，用括号包住。

101₍₂₎   二进位，数字是 101
73F₍₁₆₎  十六进位，数字是 73F

同样的数量，使用不同的底数，往往得到不同的数字。

★★★★★★★★★★★★★★★★★★  10010₍₂₎
★★★★★★★★★★★★★★★★★★  18₍₁₀₎
★★★★★★★★★★★★★★★★★★  12₍₁₆₎

同样的数字，使用不同的底数，往往得到不同的数量。

11₍₂₎   ★★★
11₍₁₀₎  ★★★★★★★★★★★
11₍₁₆₎  ★★★★★★★★★★★★★★★★★

选定底数，把数量变成数字。

选定底数，把数字变成数量。

C 语言当中的 atoi() 字串转整数函式，其实就是“选定底数 10，把数字变成数量”。

改变底数（进制转换）

10010₍₂₎ = ?₍₁₆₎

令数量维持相等，给定原数字、原底数、新底数，求新数字。

演算法和程式码交给读者思考！

UVa 343 344 355 377 389 446 448 575 594 619 636 10019 10469 10473 11005 11121

延伸阅读：以多项式作为模型

一个数字可以改写成一个多项式。

10010₍₂₎ ---> 1x⁴ + 0x³ + 0x² + 1x¹ + 0x⁰  (let x = 2)
18₍₁₀₎   ---> 1x¹ + 8x⁰  (let x = 10)
73F₍₁₆₎　---> 7x² + 3x¹ + 15x⁰  (let x = 16)

以多项式当作模型之后，“选定底数，把数字变成数量”就变成了“x 代入底数”，其演算法正是“ Horner's Rule ”。

数字与底数，在数学家眼中，可以藉由多项式一以贯之。多项式的用途实在很广。

Fibonacci Base

Fibonacci Sequence / Fibonacci Number

1 1 2 3 5 8 13 ...，大家应该都懂，所以就不介绍了。

http://www.geeksforgeeks.org/check-number-fibonacci-number/

UVa 495 11582

Fibonacci Base（Zeckendorf's Theorem）

大家做做题目、找找资料应该就懂了，所以就不介绍了。

UVa 763 948

Roman Numerals

http://en.wikipedia.org/wiki/Roman_numerals

网路已有详细资料，此处不再赘述，仅提供练习题。

UVa 759 11616 12397 11787

Calendar

春雨惊春清穀天，夏满芒夏暑相连，　　　　　　　　

秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。《二十四节气歌》

曆法

http://en.wikipedia.org/wiki/Calendar

网路已有详细资料，此处不再赘述，仅提供练习题。

1752 年 9 月曾经调整过日曆。

UVa 300 602 10070 11356