Question

仔细观察下图，这幅图中有一条新的标记直线。这条直线与曲线相交于两点上，因此不是一条切线。但是，这条直线看起来以某种方式围绕着时间点3分钟这个中心。

事实上，这条直线与时间点3分钟有联系。我们所选择的时间点是，我们所感兴趣的时间点t = 3分钟的上下几分。此处，我们选择了在t = 3分钟时间点的上下2分钟处，也就是，t = 1分钟和t = 5分钟。

使用数学符号表示，我们可以说Δx为2分钟。我们选择的时间点为 x-Δx和x+Δx。请记住，符号Δ只是意味着一个“小小的改变”，因此Δx是在x坐标上的小小改变。

为什么这样做呢？读者很快就会明白了，我们先吊吊读者的胃口。

如果观察在时间点x-Δx 和x+Δx处的速度，在这两点之间画一条直线，那么就会得到一条直线，其斜率大致与中间点x切线的斜率相同。再次观察上图，看看那条直线。当然，这条直线与在x处切线的真正斜率不是完全相同，但是我们会修正这一点的。

让我们计算出这条直线的梯度（斜率）。与之前使用的方法一样，我们将斜面的高度除以宽度得到梯度。下图更清晰显示了斜面的高度和宽度。

高度是在x-Δx和x +Δx两点处速度的差，也即是在1分钟和5分钟时两个速度之间的差。我们知道，在这两点处，速度分别为1² = 1和5² = 25英里每小时，因此速度的差值为24。宽度非常容易计算，就是x-Δx 和 x+Δx之间的距离，也就是1和5之间的距离，即4。因此，我们得到：

直线的梯度与在t = 3分处切线的梯度近似，为每分钟6英里每小时。

让我们暂停一下，回顾一下已经完成的事情。首先，我们试图使用手绘切线，计算出曲线的斜率。这种方法永远不会准确，由于我们是人类，会厌倦、无聊和犯错误，因此不能一再使用这种方法。下一种方法不需要手绘切线，而是要按照某种方法创建一条不同的直线，这条直线的斜率与正确的斜率大致相同。第二种方法可以使用计算机自动完成，由于不需要人的工作，因而可以多次进行，并且速度非常快。

这已经很不错了，但是还是不够好！

第二种方法只得到一个近似值。如何改进这个值，使其变得准确呢？我们的目标是按照精确数学的方式，计算出事情如何改变，得到梯度值。

这是发生神奇事情的地方！数学家已经发展了一种非常轻巧犀利的工具，并且从这个工具中获得了许多乐趣。

如果将宽度变小，会发生什么情况？用另一种方式来表达，也就是，如果让Δx变小，会发生什么情况？下图详细说明了当Δx逐渐变小时，所得到的若干逼近线或坡度线。

我们已经绘制出了Δx = 2.0、Δx = 1.0、Δx = 0.5 和Δx = 0.1的直线。你可以看到，直线越来越接近我们所感兴趣的点，3分钟处的点。你可以想象一下，当我们不断减小Δx的值，直线将越来越接近3分钟处的真正切线。

当Δx变得无限小时，直线无限接近真实的切线。这真是太酷啦！

通过让偏差变得越来越小，改进近似值，逼近解，这种想法简直太强大了。数学家曲径通幽，求解出难以正面求解的问题。这有点像从侧面悄悄逼近，而不是从正面进攻。