Question

1.1 贝叶斯定理

1. 设 $ MathJax-Element-37 $ 为试验 $ MathJax-Element-35 $ 的样本空间； $ MathJax-Element-36 $ 为 $ MathJax-Element-17 $ 的一组事件。若 ：

   • $ MathJax-Element-18 $
   • $ MathJax-Element-19 $

   则称 $ MathJax-Element-36 $ 为样本空间 $ MathJax-Element-37 $ 的一个划分。

2. 如果 $ MathJax-Element-36 $ 为样本空间 $ MathJax-Element-37 $ 的一个划分，则对于每次试验，事件 $ MathJax-Element-36 $ 中有且仅有一个事件发生。

3. 全概率公式 ：设试验 $ MathJax-Element-35 $ 的样本空间为 $ MathJax-Element-37 $ ， $ MathJax-Element-34 $ 为 $ MathJax-Element-35 $ 的事件， $ MathJax-Element-36 $ 为样本空间 $ MathJax-Element-37 $ 的一个划分，且 $ MathJax-Element-31 $ 。则有：

   $ p(A)=p(A\mid B_1)p(B_1)+p(A\mid B_2)p(B_2)+\cdots+p(A\mid B_n)p(B_n)=\sum_{j=1}^{n}p(A\mid B_j)p(B_j) $

4. 贝叶斯定理 ：设试验 $ MathJax-Element-35 $ 的的样本空间为 $ MathJax-Element-37 $ ， $ MathJax-Element-34 $ 为 $ MathJax-Element-35 $ 的事件， $ MathJax-Element-36 $ 为样本空间 $ MathJax-Element-37 $ 的一个划分，且 $ MathJax-Element-38 $ ，则有： $ MathJax-Element-39 $ 。

1.2 先验概率、后验概率

1. 先验概率：根据以往经验和分析得到的概率。

   后验概率：根据已经发生的事件来分析得到的概率。

2. 例：假设山洞中有熊出现的事件为 $ MathJax-Element-40 $ ，山洞中传来一阵熊吼的事件为 $ MathJax-Element-41 $ 。

   • 山洞中有熊的概率为 $ MathJax-Element-42 $ 。它是先验概率，根据以往的数据分析或者经验得到的概率。
   • 听到熊吼之后认为山洞中有熊的概率为 $ MathJax-Element-43 $ 。它是后验概率，得到本次试验的信息从而重新修正的概率。