Question

2652. 倍数求和

English Version

题目描述

给你一个正整数 n ，请你计算在 [1，n] 范围内能被 3、5、7 整除的所有整数之和。

返回一个整数，用于表示给定范围内所有满足约束条件的数字之和。

 

示例 1：

输入：n = 7
输出：21
解释：在 [1, 7] 范围内能被 3、5、7 整除的所有整数分别是 3、5、6、7 。数字之和为 21。

示例 2：

输入：n = 10
输出：40
解释：在 [1, 10] 范围内能被 3、5、7 整除的所有整数分别是 3、5、6、7、9、10 。数字之和为 40。

示例 3：

输入：n = 9
输出：30
解释：在 [1, 9] 范围内能被 3、5、7 整除的所有整数分别是 3、5、6、7、9 。数字之和为 30。

提示：

• 1 <= n <= 10³

解法

方法一：枚举

我们直接枚举 $[1,..n]$ 中的每一个数 $x$，如果 $x$ 能被 $3$, $5$, $7$ 整除，那么就将 $x$ 累加到答案中。

枚举结束后，返回答案即可。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为题目给定的整数。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def sumOfMultiples(self, n: int) -> int:
    return sum(x for x in range(1, n + 1) if x % 3 == 0 or x % 5 == 0 or x % 7 == 0)

class Solution {
  public int sumOfMultiples(int n) {
    int ans = 0;
    for (int x = 1; x <= n; ++x) {
      if (x % 3 == 0 || x % 5 == 0 || x % 7 == 0) {
        ans += x;
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int sumOfMultiples(int n) {
    int ans = 0;
    for (int x = 1; x <= n; ++x) {
      if (x % 3 == 0 || x % 5 == 0 || x % 7 == 0) {
        ans += x;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func sumOfMultiples(n int) (ans int) {
  for x := 1; x <= n; x++ {
    if x%3 == 0 || x%5 == 0 || x%7 == 0 {
      ans += x
    }
  }
  return
}

function sumOfMultiples(n: number): number {
  let ans = 0;
  for (let x = 1; x <= n; ++x) {
    if (x % 3 === 0 || x % 5 === 0 || x % 7 === 0) {
      ans += x;
    }
  }
  return ans;
}

impl Solution {
  pub fn sum_of_multiples(n: i32) -> i32 {
    let mut ans = 0;

    for x in 1..=n {
      if x % 3 == 0 || x % 5 == 0 || x % 7 == 0 {
        ans += x;
      }
    }

    ans
  }
}

方法二：数学（容斥原理）

我们定义函数 $f(x)$ 表示 $[1,..n]$ 中能被 $x$ 整除的数之和，那么一共有 $m = \left\lfloor \frac{n}{x} \right\rfloor$ 个数能被 $x$ 整除，这些数字分别为 $x$, $2x$, $3x$, $\cdots$, $mx$，构成一个等差数列，首项为 $x$，末项为 $mx$，项数为 $m$，因此 $f(x) = \frac{(x + mx) \times m}{2}$。

根据容斥原理，我们可以得到答案为：

$$ f(3) + f(5) + f(7) - f(3 \times 5) - f(3 \times 7) - f(5 \times 7) + f(3 \times 5 \times 7) $$

时间复杂度 $O(1)$，空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def sumOfMultiples(self, n: int) -> int:
    def f(x: int) -> int:
      m = n // x
      return (x + m * x) * m // 2

    return f(3) + f(5) + f(7) - f(3 * 5) - f(3 * 7) - f(5 * 7) + f(3 * 5 * 7)

class Solution {
  private int n;

  public int sumOfMultiples(int n) {
    this.n = n;
    return f(3) + f(5) + f(7) - f(3 * 5) - f(3 * 7) - f(5 * 7) + f(3 * 5 * 7);
  }

  private int f(int x) {
    int m = n / x;
    return (x + m * x) * m / 2;
  }
}

class Solution {
public:
  int sumOfMultiples(int n) {
    auto f = [&](int x) {
      int m = n / x;
      return (x + m * x) * m / 2;
    };
    return f(3) + f(5) + f(7) - f(3 * 5) - f(3 * 7) - f(5 * 7) + f(3 * 5 * 7);
  }
};

func sumOfMultiples(n int) int {
  f := func(x int) int {
    m := n / x
    return (x + m*x) * m / 2
  }
  return f(3) + f(5) + f(7) - f(3*5) - f(3*7) - f(5*7) + f(3*5*7)
}

function sumOfMultiples(n: number): number {
  const f = (x: number): number => {
    const m = Math.floor(n / x);
    return ((x + m * x) * m) >> 1;
  };
  return f(3) + f(5) + f(7) - f(3 * 5) - f(3 * 7) - f(5 * 7) + f(3 * 5 * 7);
}

impl Solution {
  pub fn sum_of_multiples(n: i32) -> i32 {
    (1..=n).filter(|&x| (x % 3 == 0 || x % 5 == 0 || x % 7 == 0)).sum()
  }
}

方法三

impl Solution {
  pub fn sum_of_multiples(n: i32) -> i32 {
    fn f(x: i32, n: i32) -> i32 {
      let m = n / x;
      ((x + m * x) * m) / 2
    }

    f(3, n) + f(5, n) + f(7, n) - f(3 * 5, n) - f(3 * 7, n) - f(5 * 7, n) + f(3 * 5 * 7, n)
  }
}