Question

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• leetcode: Sort List | LeetCode OJ
• lintcode: (98) Sort List

Sort a linked list in O(n log n) time using constant space complexity.

题解 1 - 归并排序（链表长度求中间节点)

链表的排序操作，对于常用的排序算法，能达到 O(nlogn)O(n \log n)O(nlogn) 的复杂度有快速排序（平均情况)，归并排序，堆排序。快速排序不一定能保证其时间复杂度一定满足要求，归并排序和堆排序都能满足复杂度的要求。在数组排序中，归并排序通常需要使用 O(n)O(n)O(n) 的额外空间，也有原地归并的实现，代码写起来略微麻烦一点。但是对于链表这种非随机访问数据结构，所谓的「排序」不过是指针 next 值的变化而已，主要通过指针操作，故仅需要常数级别的额外空间，满足题意。堆排序通常需要构建二叉树，在这道题中不太适合。

既然确定使用归并排序，我们就来思考归并排序实现的几个要素。

1. 按长度等分链表，归并虽然不严格要求等分，但是等分能保证线性对数的时间复杂度。由于链表不能随机访问，故可以先对链表进行遍历求得其长度。
2. 合并链表，细节已在 Merge Two Sorted Lists | Data Structure and Algorithm 中详述。

在按长度等分链表时进行「后序归并」——先求得左半部分链表的表头，再求得右半部分链表的表头，最后进行归并操作。

由于递归等分链表的操作需要传入链表长度信息，故需要另建一辅助函数。新鲜出炉的源码如下。

/**
 * Definition of ListNode
 * class ListNode {
 * public:
 *   int val;
 *   ListNode *next;
 *   ListNode(int val) {
 *     this->val = val;
 *     this->next = NULL;
 *   }
 * }
 */
class Solution {
public:
  /**
   * @param head: The first node of linked list.
   * @return: You should return the head of the sorted linked list,
          using constant space complexity.
   */
  ListNode *sortList(ListNode *head) {
    if (NULL == head) {
      return NULL;
    }

    // get the length of List
    int len = 0;
    ListNode *node = head;
    while (NULL != node) {
      node = node->next;
      ++len;
    }

    return sortListHelper(head, len);
  }

private:
  ListNode *sortListHelper(ListNode *head, const int length) {
    if ((NULL == head) || (0 >= length)) {
      return head;
    }

    ListNode *midNode = head;

    int count = 1;
    while (count < length / 2) {
      midNode = midNode->next;
      ++count;
    }

    ListNode *rList = sortListHelper(midNode->next, length - length / 2);
    midNode->next = NULL;
    ListNode *lList = sortListHelper(head, length / 2);

    return mergeList(lList, rList);
  }

  ListNode *mergeList(ListNode *l1, ListNode *l2) {
    ListNode *dummy = new ListNode(0);
    ListNode *lastNode = dummy;
    while ((NULL != l1) && (NULL != l2)) {
      if (l1->val < l2->val) {
        lastNode->next = l1;
        l1 = l1->next;
      } else {
        lastNode->next = l2;
        l2 = l2->next;
      }

      lastNode = lastNode->next;
    }

    lastNode->next = (NULL != l1) ? l1 : l2;

    return dummy->next;
  }
};

源码分析

1. 归并子程序没啥好说的了，见 Merge Two Sorted Lists | Data Structure and Algorithm .
2. 在递归处理链表长度时，分析方法和 Convert Sorted List to Binary Search Tree | Data Structure and Algorithm 一致， count 表示遍历到链表中间时表头指针需要移动的节点数。 在纸上分析几个简单例子后即可确定，由于这个题需要的是「左右」而不是二叉搜索树那道题需要三分——「左中右」，故将 count 初始化为 1 更为方便，左半部分链表长度为 length / 2 , 这两个值的确定最好是先用纸笔分析再视情况取初值，不可死记硬背。
3. 找到中间节点后首先将其作为右半部分链表处理，然后将其 next 值置为 NULL , 否则归并子程序无法正确求解。这里需要注意的是 midNode 是左半部分的最后一个节点， midNode->next 才是链表右半部分的起始节点。
4. 递归模型中 左、右、合并 三者的顺序可以根据分治思想确定，即先找出左右链表，最后进行归并（因为归并排序的前提是两个子链表各自有序)。

复杂度分析

遍历求得链表长度，时间复杂度为 O(n)O(n)O(n), 「折半取中」过程中总共有 log(n)\log(n)log(n) 层，每层找中点需遍历 n/2n/2n/2 个节点，故总的时间复杂度为 n/2⋅O(logn) n/2 \cdot O(\log n)n/2⋅O(logn) (折半取中), 每一层归并排序的时间复杂度介于 O(n/2)O(n/2)O(n/2) 和 O(n)O(n)O(n) 之间，故总的时间复杂度为 O(nlogn)O(n \log n)O(nlogn), 空间复杂度为常数级别，满足题意。

题解 2 - 归并排序（快慢指针求中间节点)

除了遍历链表求得总长外，还可使用看起来较为巧妙的技巧如「快慢指针」，快指针每次走两步，慢指针每次走一步，最后慢指针所指的节点即为中间节点。使用这种特技的关键之处在于如何正确确定快慢指针的起始位置。

C++

/**
 * Definition of ListNode
 * class ListNode {
 * public:
 *   int val;
 *   ListNode *next;
 *   ListNode(int val) {
 *     this->val = val;
 *     this->next = NULL;
 *   }
 * }
 */
class Solution {
public:
  /**
   * @param head: The first node of linked list.
   * @return: You should return the head of the sorted linked list,
          using constant space complexity.
   */
  ListNode *sortList(ListNode *head) {
    if (NULL == head || NULL == head->next) {
      return head;
    }

    ListNode *midNode = findMiddle(head);
    ListNode *rList = sortList(midNode->next);
    midNode->next = NULL;
    ListNode *lList = sortList(head);

    return mergeList(lList, rList);
  }

private:
  ListNode *findMiddle(ListNode *head) {
    if (NULL == head || NULL == head->next) {
      return head;
    }

    ListNode *slow = head, *fast = head->next;
    while(NULL != fast && NULL != fast->next) {
      fast = fast->next->next;
      slow = slow->next;
    }

    return slow;
  }

  ListNode *mergeList(ListNode *l1, ListNode *l2) {
    ListNode *dummy = new ListNode(0);
    ListNode *lastNode = dummy;
    while ((NULL != l1) && (NULL != l2)) {
      if (l1->val < l2->val) {
        lastNode->next = l1;
        l1 = l1->next;
      } else {
        lastNode->next = l2;
        l2 = l2->next;
      }

      lastNode = lastNode->next;
    }

    lastNode->next = (NULL != l1) ? l1 : l2;

    return dummy->next;
  }
};

源码分析

1. 异常处理不仅考虑了 head , 还考虑了 head->next , 可减少辅助程序中的异常处理。
2. 使用快慢指针求中间节点时，将 fast 初始化为 head->next 可有效避免无法分割两个节点如 1->2->null^{fast_slow_pointer} 。
   • 求中点的子程序也可不做异常处理，但前提是主程序 sortList 中对 head->next 做了检测。
3. 最后进行 merge 归并排序。

在递归和迭代程序中，需要尤其注意终止条件的确定，以及循环语句中变量的自增，以防出现死循环或访问空指针。

复杂度分析

同上。

题解 3 - 归并排序（自底向上)

归并排序，总的时间复杂度是（nlogn),但是递归的空间复杂度并不是常数（和递归的层数有着关；递归的过程是自顶向下，好理解；这里提供自底向上的非递归方法；

C++

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *   int val;
 *   ListNode *next;
 *   ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
  ListNode* sortList(ListNode* head) {
    int len_list = 0;
    ListNode *p=head;
    while(p){
      p = p->next;
      len_list++;
    }
    ListNode *l_list,*r_list,**p_merge_list;
    for(int i = 1; i < len_list; i <<= 1){
      r_list = l_list = head;
      p_merge_list = &head;
      for(int j = 0; j < len_list - i ; j += i << 1){

        for(int k = 0; k < i; ++k) r_list=r_list->next;
        int l_len=i,r_len=min(i, len_list - j - i);

        while(l_len || r_len ){
          if(r_len > 0 && (l_len == 0 || r_list->val <= l_list->val)){
            *p_merge_list = r_list;
            p_merge_list=&(r_list->next);
            r_list = r_list->next;
            --r_len;
          }
          else{
            *p_merge_list = l_list;
            p_merge_list=&(l_list->next);
            l_list = l_list->next;

            --l_len;
          }
        }
        l_list=r_list;
      }
      *p_merge_list = r_list;

    }
    return head;
  }
};

复杂度分析

归并排序，分解子问题的过程是 O(logn),合并子问题的过程是 O(n);

Reference

• Sort List | 九章算法

• ^{fast_slow_pointer}. LeetCode: Sort List 解题报告 - Yu's Garden - 博客园 ↩