Question

265. 粉刷房子 II

English Version

题目描述

假如有一排房子共有 n 幢，每个房子可以被粉刷成 k 种颜色中的一种。房子粉刷成不同颜色的花费成本也是不同的。你需要粉刷所有的房子并且使其相邻的两个房子颜色不能相同。

每个房子粉刷成不同颜色的花费以一个 n x k 的矩阵表示。

• 例如，costs[0][0] 表示第 0 幢房子粉刷成 0 号颜色的成本；costs[1][2] 表示第 1 幢房子粉刷成 2 号颜色的成本，以此类推。

返回 _粉刷完所有房子的最低成本_ 。

 

示例 1：

输入: costs = [[1,5,3],[2,9,4]]
输出: 5
解释: 
将房子 0 刷成 0 号颜色，房子 1 刷成 2 号颜色。花费: 1 + 4 = 5; 
或者将 房子 0 刷成 2 号颜色，房子 1 刷成 0 号颜色。花费: 3 + 2 = 5. 

示例 2:

输入: costs = [[1,3],[2,4]]
输出: 5

 

提示：

• costs.length == n
• costs[i].length == k
• 1 <= n <= 100
• 2 <= k <= 20
• 1 <= costs[i][j] <= 20

 

进阶：您能否在 O(nk) 的时间复杂度下解决此问题？

解法

方法一：动态规划

定义 $f[i][j]$ 表示粉刷前 $i$ 个房子，且最后一个房子被粉刷成第 $j$ 种颜色的最小花费。答案为 $\min_{0 \leq j < k} f[n][j]$。

对于 $f[i][j]$，可以从 $f[i - 1][j']$ 转移而来，其中 $j' \neq j$。因此，可以得到状态转移方程：

$$ f[i][j] = \min_{0 \leq j' < k, j' \neq j} f[i - 1][j'] + costs[i - 1][j] $$

由于 $f[i][j]$ 只与 $f[i - 1][j']$ 有关，因此可以使用滚动数组优化空间复杂度。

时间复杂度 $O(n \times k^2)$，空间复杂度 $O(k)$。其中 $n$ 和 $k$ 分别为房子数量和颜色数量。

class Solution:
  def minCostII(self, costs: List[List[int]]) -> int:
    n, k = len(costs), len(costs[0])
    f = costs[0][:]
    for i in range(1, n):
      g = costs[i][:]
      for j in range(k):
        t = min(f[h] for h in range(k) if h != j)
        g[j] += t
      f = g
    return min(f)

class Solution {
  public int minCostII(int[][] costs) {
    int n = costs.length, k = costs[0].length;
    int[] f = costs[0].clone();
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      int[] g = costs[i].clone();
      for (int j = 0; j < k; ++j) {
        int t = Integer.MAX_VALUE;
        for (int h = 0; h < k; ++h) {
          if (h != j) {
            t = Math.min(t, f[h]);
          }
        }
        g[j] += t;
      }
      f = g;
    }
    return Arrays.stream(f).min().getAsInt();
  }
}

class Solution {
public:
  int minCostII(vector<vector<int>>& costs) {
    int n = costs.size(), k = costs[0].size();
    vector<int> f = costs[0];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      vector<int> g = costs[i];
      for (int j = 0; j < k; ++j) {
        int t = INT_MAX;
        for (int h = 0; h < k; ++h) {
          if (h != j) {
            t = min(t, f[h]);
          }
        }
        g[j] += t;
      }
      f = move(g);
    }
    return *min_element(f.begin(), f.end());
  }
};

func minCostII(costs [][]int) int {
  n, k := len(costs), len(costs[0])
  f := cp(costs[0])
  for i := 1; i < n; i++ {
    g := cp(costs[i])
    for j := 0; j < k; j++ {
      t := math.MaxInt32
      for h := 0; h < k; h++ {
        if h != j && t > f[h] {
          t = f[h]
        }
      }
      g[j] += t
    }
    f = g
  }
  return slices.Min(f)
}

func cp(arr []int) []int {
  t := make([]int, len(arr))
  copy(t, arr)
  return t
}