Question

矩阵 A ∈ R ^{n × n} 的 逆 ，写作 A ^?1，是一个矩阵，并且是唯一的。

A ^?1 A = I = AA ^?1 .

注意不是所有的矩阵都有逆。例如非方阵，是没有逆的。然而，即便对于一些方阵，它仍有可能不存在逆。如果 A ^?1存在，我们称矩阵 A 是 可逆 的或 非奇异 的，如果不存在，则称矩阵 A 不可逆 或 奇异 。

如果一个方阵 A 有逆 A ^?1，它必须满秩。我们很快可以看到，除了满秩，矩阵可逆还有许多充分必要条件。

满足以下的性质的矩阵可逆；以下所有叙述都假设 A，B ∈ R ^{n ×n}是非奇异的：

• (A^?1)^?1 = A
• (AB)^?1 = B^?1A^?1
• (A^?1)^T = (A^T )^?1. 因此这样的矩阵经常写作 A^?T

举一个矩阵的逆的应用实例。对于线性方程组 Ax = b，其中 A ∈ R ^{n × n} ，并且 x，b ∈ R ⁿ .如果 A 是非奇异（即可逆），则 x = A ^?1 b （如果 A ∈ R ^{m × n} 不是方阵呢？是否成立？）