Question

有些特殊类型的矩阵和向量是特别有用的。

对角矩阵（diagonal matrix）只在主对角线上含有非零元素，其他位置都是零。形式上，矩阵D是对角矩阵，当且仅当对于所有的。我们已经看到过一个对角矩阵：单位矩阵，其对角元素全部是1。我们用diag(ν)表示对角元素由向量ν中元素给定的一个对角方阵。对角矩阵受到关注的部分原因是对角矩阵的乘法计算很高效。计算乘法diag(ν)x，我们只需要将x中的每个元素x_i放大ν_i倍。换言之，。计算对角方阵的逆矩阵也很高效。对角方阵的逆矩阵存在，当且仅当对角元素都是非零值，在这种情况下，。在很多情况下，我们可以根据任意矩阵导出一些通用的机器学习算法，但通过将一些矩阵限制为对角矩阵，我们可以得到计算代价较低的（并且简明扼要的）算法。

并非所有的对角矩阵都是方阵。长方形的矩阵也有可能是对角矩阵。非方阵的对角矩阵没有逆矩阵，但我们仍然可以高效地计算它们的乘法。对于一个长方形对角矩阵D而言，乘法Dx会涉及x中每个元素的缩放，如果D是瘦长型矩阵，那么在缩放后的末尾添加一些零；如果D是胖宽型矩阵，那么在缩放后去掉最后一些元素。

对称（symmetric）矩阵是转置和自己相等的矩阵，即

当某些不依赖参数顺序的双参数函数生成元素时，对称矩阵经常会出现。例如，如果A是一个距离度量矩阵，A_i,j表示点i到点j的距离，那么A_i,j=A_j,i，因为距离函数是对称的。

单位向量（unit vector）是具有单位范数（unit norm）的向量，即

如果，那么向量x和向量y互相正交（orthogonal）。如果两个向量都有非零范数，那么这两个向量之间的夹角是90◦。在中，至多有n个范数非零向量互相正交。如果这些向量不但互相正交，而且范数都为1，那么我们称它们是标准正交（orthonormal）。

正交矩阵（orthogonal matrix）指行向量和列向量是分别标准正交的方阵，即

这意味着

正交矩阵受到关注是因为求逆计算代价小。我们需要注意正交矩阵的定义。违反直觉的是，正交矩阵的行向量不仅是正交的，还是标准正交的。对于行向量或列向量互相正交但不是标准正交的矩阵，没有对应的专有术语。