Question

（1）平稳时间序列的定义

对于随机变量X，可以计算其均值（数学期望）、方差σ²；对于两个随机变量量X和Y，可以计算X，Y的协方差cov（X，Y）=E[（X-μX）（Y-μY）]和相关系数ρ（X，Y）=[cov（X，Y）]/（σ_Xσ_Y），它们度量了两个不同事件之间的相互影响程度。

对于时间序列{X_t，t∈T}，任意时刻的序列值X_t都是一个随机变量，每一个随机变量都会有均值和方差，记X_t的均值为μ_t，方差为σ_t；任取t，s∈T，定义序列{X_t}的自协方差函数γ（t，s）=E[（X_t-μ_t）（X_s-μ_s）]和自相关系数ρ（t，s）=[cov（X_t，X_s）]/（σ_tσ_s）（特别地，γ（t，t）=γ（0）=1，ρ₀=1），之所以称它们为自协方差函数和自相关系数，是因为它们衡量的是同一个事件在两个不同时期（时刻t和s）之间的相关程度，形象地讲就是度量自己过去的行为对自己现在的影响。

如果时间序列{X_t，t∈T}在某一常数附近波动且波动范围有限，即有常数均值和常数方差，并且延迟k期的序列变量的自协方差和自相关系数是相等的或者说延迟k期的序列变量之间的影响程度是一样的，则称{X_t，t∈T}为平稳序列。

（2）平稳性的检验

对序列的平稳性的检验有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图的特征做出判断的图检验，该方法操作简单、应用广泛，缺点是带有主观性；另一种是构造检验统计量进行检验的方法，目前最常用的方法是单位根检验。

1）时序图检验。根据平稳时间序列的均值和方差都为常数的性质，平稳序列的时序图显示该序列值始终在一个常数附近随机波动，而且波动的范围有界；如果有明显的趋势性或者周期性，那它通常不是平稳序列。

2）自相关图检验。平稳序列具有短期相关性，这个性质表明对平稳序列而言通常只有近期的序列值对现时值的影响比较明显，间隔越远的过去值对现时值的影响越小。随着延迟期数k的增加，平稳序列的自相关系数ρ_k（延迟k期）会比较快的衰减趋向于零，并在零附近随机波动，而非平稳序列的自相关系数衰减的速度比较慢，这就是利用自相关图进行平稳性检验的标准。

3）单位根检验。单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，如果存在单位根就是非平稳时间序列了。