Question

1.1 条件概率与独立事件

1. 条件概率：已知 $ MathJax-Element-265 $ 事件发生的条件下 $ MathJax-Element-61 $ 发生的概率，记作 $ MathJax-Element-62 $ ，它等于事件 $ MathJax-Element-63 $ 的概率相对于事件 $ MathJax-Element-265 $ 的概率，即： $ MathJax-Element-65 $ 。其中必须有 $ MathJax-Element-66 $ 。

2. 条件概率分布的链式法则：对于 $ MathJax-Element-387 $ 个随机变量 $ MathJax-Element-423 $ ，有：

   $ P(X_1,X_2,\cdots,X_n)=P(X_1)\prod_{i=2}^{n}P(X_i \mid X_1,\cdots,X_{i-1}) $

3. 两个随机变量 $ MathJax-Element-516 $ 相互独立的数学描述： $ MathJax-Element-70 $ 。记作： $ MathJax-Element-71 $ 。

4. 两个随机变量 $ MathJax-Element-516 $ 关于随机变量 $ MathJax-Element-73 $ 条件独立的数学描述： $ MathJax-Element-74 $ 。

   记作： $ MathJax-Element-75 $ 。

1.2 联合概率分布

1. 定义 $ MathJax-Element-499 $ 和 $ MathJax-Element-498 $ 的联合分布为： $ MathJax-Element-78 $ 。

   • $ MathJax-Element-499 $ 的分布可以从联合分布中得到：

     $ P_X(a)=P\{X \le a\}=P\{X \le a, Y \le \infty\}=P(a,\infty),\quad - \infty \lt a \lt + \infty $

   • $ MathJax-Element-498 $ 的分布可以从联合分布中得到：

     $ P_Y(b)=P\{Y \le b\}=P\{X \le \infty, Y \le b\}=P(\infty,b), \quad - \infty \lt b \lt + \infty $

2. 当 $ MathJax-Element-499 $ 和 $ MathJax-Element-498 $ 都是离散随机变量时， 定义 $ MathJax-Element-499 $ 和 $ MathJax-Element-498 $ 的联合概率质量函数为： $ MathJax-Element-85 $

   则 $ MathJax-Element-499 $ 和 $ MathJax-Element-498 $ 的概率质量函数分布为：

   $ p_X(x)=\sum_{y}p(x,y) \quad p_Y(y)=\sum_{x}p(x,y) $

3. 当 $ MathJax-Element-499 $ 和 $ MathJax-Element-498 $ 联合地连续时，即存在函数 $ MathJax-Element-93 $ ，使得对于所有的实数集合 $ MathJax-Element-91 $ 和 $ MathJax-Element-92 $ 满足：

   $ P\{X \in \mathbb A, Y \in \mathbb B\}=\int_\mathbb B \int_\mathbb A p(x,y) dx dy $

   则函数 $ MathJax-Element-93 $ 称为 $ MathJax-Element-499 $ 和 $ MathJax-Element-498 $ 的概率密度函数。

   • 联合分布为： $ MathJax-Element-96 $ 。

   • $ MathJax-Element-499 $ 和 $ MathJax-Element-498 $ 的分布函数以及概率密度函数分别为：

     $ P_X(a)=\int_{-\infty}^{a} \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) dx dy =\int_{-\infty}^{a} p_X(x)dx\\ P_Y(b)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{b} p(x,y) dx dy=\int_{-\infty}^{b} p_Y(y)dy\\ p_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) dy\\ p_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) dx $

     .