Question

楔子

函数是“对应”与“变换”两种概念的结合。

先前介绍的主题皆是“对应”，著重于函数本身的姿态。包括了微积分、场、求根、求解、最佳化、内插、迴归、聚类、分类。

接著介绍的主题皆是“变换”，著重于输入输出的姿态。

Set / Tuple

多物视作一物。差别在于：

“集合”的元素不分先后，无视重複元素。採用大括号。

“元组”的元素区分先后，允许重複元素。採用小括号。

set       tuple
{4,5,7}   (5,4,7)
{1,2,3}   (1,1,2,2,3,3)
{}        ()

Data

计算机当中，凡事皆须化作数值，因此“资料”又称“数据”。计算学当中，一笔资料通常表示成一个 tuple。

(人,2) --> (20154,2)
(乙,1) --> (20057,1)
(己,3) --> (24049,3)

Transformation

“转换”。数据套用函数，转换姿态。数据产生变化。

“重新表示”也是转换。转换前后，数据意义保持相同，换个角度看世界。

Coordinate（Under Construction!）

Coordinate

空间变 tuple。

空间是泛称，例如一维数线、二维平面、三维空间都是空间。

空间中每一个地点，分别设定独一无二的 tuple。一种设定方式称作一种“座标系统 coordinate system”，tuple 的一个栏位称做一种“座标 coordinate”。

大家习惯令不同地点拥有不同座标、相邻地点拥有相邻座标、座标栏位数量符合维度大小。

座标系统是函数组

{ Fx R3->R1: (x,y,z) -> x
{ Fy R3->R1: (x,y,z) -> y
{ Fz R3->R1: (x,y,z) -> z

数学家的世界观当中，座标系统是函数组。一个函数求得一个维度的座标：输入地点，输出座标数值。

函数组必须是一对一函数（拥有反函数），让不同地点拥有不同座标；函数组必须是连续函数，让相邻地点拥有相邻座标。

典型座标系统

tuple 每个数字，设定成角度、长度、缩放倍率。

直角座标  Cartesian    长度、…            任意维
极座标    polar        长度、角度         二维
球座标    sphere       长度、角度、角度   三维
圆柱座标  cylinder     长度、长度、角度   三维
齐次座标  projective   长度、…、倍率      二维以上

http://b.bbi.com.tw/Gossiping/1J67W85o.html

更换座标系统

一个座标系变成另一个座标系。可以拆成两个步骤：先找反函数、再套用函数。

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_common_coordinate_transformations

附带一提，Hough Transform 是把二维座标转换成极座标。

Data 画成图形

数据可以画成图形。运用各种座标系统，得到各种外观。

scatter plot。

Radial Function

X and F(X) ⇨ Angle and Radius【查无专有名词】

绘制函数图形，除了水平延展，还可以迴转周旋。

函数输入视作从 X 轴出发的角度，函数输出视作从原点出发的长度。

利用三角函数 sin 和 cos 找到绘制地点。

当函数输出是负值，则无法画出函数图形。三种解法：一、乾脆不画。二、负值变正值、换颜色。三、穿越原点，跑到对面，角度相差 180 度。

角度可以改成 x 的倍率，修改转速。

运用周旋，得以制作许多特殊图形。

Periodicity ⇨ Closed

有个值得一提的案例是週期函数：固定间距、不断重複的函数。

角度改成 x 的适当倍率，使得一个间距（或者其倍数）刚好转一圈，函数图形头尾衔接，得到封闭曲线。

Angle and Radius ⇨ X and F(X)【查无专有名词】

任意的封闭曲线，想要从周旋变成延展，就必须满足函数的规定：找到内部一点作为原点，任意放射线与曲线的交点只有一点。之后即可视作一般函数进行处理。

不是函数的封闭曲线，想要满足函数的规定，我只知道一种解法是平滑化：每一个点，取其邻点，求平均值。实施足够次数，似乎就会变成函数。实施无限次，最后就会变成圆形，其概念类似于流形与圆的映射。我不清楚这部分是否有人研究。

不是函数的一般曲线，我不清楚怎麽转换。

函数输入是两个变数

函数输入是两个变数（或者一个複数），视作旋转角度和俯仰角度，得到三维空间的表面。

f[u_,v_] := Sin[u]Sin[v]+2; ParametricPlot3D[{f[u,v]Cos[v/5]Cos[u/5], f[u,v]Cos[v/5]Sin[u/5], f[u,v]Sin[v/5]}, {u, 0, 40}, {v, 0, 40}, Boxed -> False, Axes -> False, Mesh -> None, PlotPoints -> 70, ColorFunction -> (ColorData["CherryTones"][Rescale[#3, {-2, 2}]] &) ]

进阶主题是“ 球谐函数 ”，大家自己看著办吧。

函数输出是两个变数

函数输出是两个变数（或者一个複数），视作水平距离和垂直距离，得到三维空间的线。

ParametricPlot3D[{Sin[x] Cos[x*10], Sin[x] Sin[x*10], x}, {x, 0, 9}, Boxed -> False, Axes -> False, PlotStyle -> {RGBColor[192,0,0], Thick}]

进阶主题是“ 柱谐函数 ”，大家自己看著办吧。

Basis（Under Construction!）

Basis

使用单一数值作为座标轴。

使用数列作为座标轴。

使用函数作为座标轴。

可以利用加权平均值创造座标系。请见本站文件“ Weighted Average Coordinates ”。

频域座标【尚无专有名词】

複数平面，垂直座标变极座标（实部虚部变幅长幅角），可以推广到高维度。【尚待确认】

複数　垂直座标　　转换机制　　频域座标　　转换名称　　时间複杂度
一一　一一一一一　一一一一一　一一一一一　一一一一一　一一一一一
数字　实部、虚部　长度、角度　幅长、幅角　极座标转换　O(1)
数列　实部、虚部　複数波　　　强度、相位　傅立叶转换　O(NlogN)
矩阵　特徵值　　　循环矩阵　　特徵值　　　特徵分解？　O(N^3)

   　数学性质　　　　　
   　一一一一一一一一一
e^x　输入相加＝输出相乘
fft　输入点积＝输出摺积

有些问题在垂直座标很难算，在频域座标却很好算。例如複数乘法变长度相乘、角度相加。数列摺积变数列乘法。镜射矩阵相乘变角度相加。

请见本站文件“ Matrix ”与“ Wave ”。