Question

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上节课我们主要介绍了 Decision Tree 模型。Decision Tree 算法的核心是通过递归的方式，将数据集不断进行切割，得到子分支，最终形成数的结构。C&RT 算法是决策树比较简单和常用的一种算法，其切割的标准是根据纯度来进行，每次切割都是为了让分支内部纯度最大。最终，决策树不同的分支得到不同的（即树的叶子，C&RT 算法中，是常数）。本节课将介绍随机森林（Random Forest）算法，它是我们之前介绍的 Bagging 和上节课介绍的 Decision Tree 的结合。

Random Forest Algorithm

首先我们来复习一下之前介绍过的两个机器学习模型：Bagging 和 Decision Tree。Bagging 是通过 bootstrap 的方式，从原始的数据集 D 中得到新的；然后再使用一些 base algorithm 对每个都得到相应的；最后将所有的通过投票 uniform 的形式组合成一个 G，G 即为我们最终得到的模型。Decision Tree 是通过递归形式，利用分支条件，将原始数据集 D 切割成一个个子树结构，长成一棵完整的树形结构。Decision Tree 最终得到的 G(x) 是由相应的分支条件 b(x) 和分支树递归组成。

Bagging 和 Decison Tree 算法各自有一个很重要的特点。Bagging 具有减少不同的方差 variance 的特点。这是因为 Bagging 采用投票的形式，将所有uniform 结合起来，起到了求平均的作用，从而降低 variance。而 Decision Tree 具有增大不同的方差 variance 的特点。这是因为 Decision Tree 每次切割的方式不同，而且分支包含的样本数在逐渐减少，所以它对不同的资料 D 会比较敏感一些，从而不同的 D 会得到比较大的 variance。

所以说，Bagging 能减小 variance，而 Decision Tree 能增大 variance。如果把两者结合起来，能否发挥各自的优势，起到优势互补的作用呢？这就是我们接下来将要讨论的 aggregation of aggregation，即使用 Bagging 的方式把众多的 Decision Tree 进行 uniform 结合起来。这种算法就叫做随机森林（Random Forest），它将完全长成的 C&RT 决策树通过 bagging 的形式结合起来，最终得到一个庞大的决策模型。

Random Forest 算法流程图如下所示：

Random Forest 算法的优点主要有三个。第一，不同决策树可以由不同主机并行训练生成，效率很高；第二，随机森林算法继承了 C&RT 的优点；第三，将所有的决策树通过 bagging 的形式结合起来，避免了单个决策树造成过拟合的问题。

以上是基本的 Random Forest 算法，我们再来看一下如何让 Random Forest 中决策树的结构更有多样性。Bagging 中，通过 bootstrap 的方法得到不同于 D 的 D’，使用这些随机抽取的资料得到不同的。除了随机抽取资料获得不同的方式之外，还有另外一种方法，就是随机抽取一部分特征。例如，原来有 100 个特征，现在只从中随机选取 30 个来构成决策树，那么每一轮得到的树都由不同的 30 个特征构成，每棵树都不一样。假设原来样本维度是 d，则只选择其中的 d’（d’小于 d）个维度来建立决策树结构。这类似是一种从 d 维到 d’维的特征转换，相当于是从高维到低维的投影，也就是说 d’维 z 空间其实就是 d 维 x 空间的一个随机子空间（subspace）。通常情况下，d’远小于 d，从而保证算法更有效率。Random Forest 算法的作者建议在构建 C&RT 每个分支 b(x) 的时候，都可以重新选择子特征来训练，从而得到更具有多样性的决策树。

所以说，这种增强的 Random Forest 算法增加了 random-subspace。

上面我们讲的是随机抽取特征，除此之外，还可以将现有的特征 x，通过数组 p 进行线性组合，来保持多样性：

这种方法使每次分支得到的不再是单一的子特征集合，而是子特征的线性组合（权重不为 1）。好比在二维平面上不止得到水平线和垂直线，也能得到各种斜线。这种做法使子特征选择更加多样性。值得注意的是，不同分支 i 下的是不同的，而且向量中大部分元素为零，因为我们选择的只是一部分特征，这是一种低维映射。

所以，这里的 Random Forest 算法又有增强，由原来的 random-subspace 变成了 random-combination。顺便提一下，这里的 random-combination 类似于 perceptron 模型。

Out-Of-Bag Estimate

上一部分我们已经介绍了 Random Forest 算法，而 Random Forest 算法重要的一点就是 Bagging。接下来将继续探讨 bagging 中的 bootstrap 机制到底蕴含了哪些可以为我们所用的东西。

通过 bootstrap 得到新的样本集 D’，再由 D’训练不同的。我们知道 D’中包含了原样本集 D 中的一些样本，但也有些样本没有涵盖进去。如下表所示，不同的下，红色的 表示在中没有这些样本。例如对来说，和没有包含进去，对来说，和没有包含进去，等等。每个中，红色 表示的样本被称为 out-of-bag(OOB) example。

首先，我们来计算 OOB 样本到底有多少。假设 bootstrap 的数量 N’=N，那么某个样本是 OOB 的概率是：

其中，e 是自然对数，N 是原样本集的数量。由上述推导可得，每个中，OOB 数目大约是，即大约有三分之一的样本没有在 bootstrap 中被抽到。

然后，我们将 OOB 与之前介绍的 Validation 进行对比：

在 Validation 表格中，蓝色的用来得到不同的，而红色的用来验证各自的。与没有交集，一般是的数倍关系。再看左边的 OOB 表格，之前我们也介绍过，蓝色的部分用来得到不同的，而红色的部分是 OOB 样本。而我们刚刚也推导过，红色部分大约占 N 的。通过两个表格的比较，我们发现 OOB 样本类似于，那么是否能使用 OOB 样本来验证的好坏呢？答案是肯定的。但是，通常我们并不需要对单个进行验证。因为我们更关心的是由许多组合成的 G，即使表现不太好，只要 G 表现足够好就行了。那么问题就转化成了如何使用 OOB 来验证 G 的好坏。方法是先看每一个样本是哪些的 OOB 资料，然后计算其在这些上的表现，最后将所有样本的表现求平均即可。例如，样本是，，的 OOB，则可以计算在上的表现为：

这种做法我们并不陌生，就像是我们之前介绍过的 Leave-One-Out Cross Validation，每次只对一个样本进行的验证一样，只不过这里选择的是每个样本是哪些的 OOB，然后再分别进行的验证。每个样本都当成验证资料一次（与留一法相同），最后计算所有样本的平均表现：

估算的就是 G 的表现好坏。我们把称为 bagging 或者 Random Forest 的 self-validation。

这种 self-validation 相比于 validation 来说还有一个优点就是它不需要重复训练。如下图左边所示，在通过选择到表现最好的之后，还需要在和组成的所有样本集 D 上重新对该模型训练一次，以得到最终的模型系数。但是 self-validation 在调整随机森林算法相关系数并得到最小的之后，就完成了整个模型的建立，无需重新训练模型。随机森林算法中，self-validation 在衡量 G 的表现上通常相当准确。

Feature Selection

如果样本资料特征过多，假如有 10000 个特征，而我们只想从中选取 300 个特征，这时候就需要舍弃部分特征。通常来说，需要移除的特征分为两类：一类是冗余特征，即特征出现重复，例如“年龄”和“生日”；另一类是不相关特征，例如疾病预测的时候引入的“保险状况”。这种从 d 维特征到 d’维特征的 subset-transform 称为 Feature Selection，最终使用这些 d’维的特征进行模型训练。

特征选择的优点是：

• 提高效率，特征越少，模型越简单
• 正则化，防止特征过多出现过拟合
• 去除无关特征，保留相关性大的特征，解释性强

同时，特征选择的缺点是：

• 筛选特征的计算量较大
• 不同特征组合，也容易发生过拟合
• 容易选到无关特征，解释性差

值得一提的是，在 decision tree 中，我们使用的 decision stump 切割方式也是一种 feature selection。

那么，如何对许多维特征进行筛选呢？我们可以通过计算出每个特征的重要性（即权重），然后再根据重要性的排序进行选择即可。

这种方法在线性模型中比较容易计算。因为线性模型的 score 是由每个特征经过加权求和而得到的，而加权系数的绝对值正好代表了对应特征的重要性为多少。越大，表示对应特征越重要，则该特征应该被选择。w 的值可以通过对已有的数据集建立线性模型而得到。

然而，对于非线性模型来说，因为不同特征可能是非线性交叉在一起的，所以计算每个特征的重要性就变得比较复杂和困难。例如，Random Forest 就是一个非线性模型，接下来，我们将讨论如何在 RF 下进行特征选择。

RF 中，特征选择的核心思想是 random test。random test 的做法是对于某个特征，如果用另外一个随机值替代它之后的表现比之前更差，则表明该特征比较重要，所占的权重应该较大，不能用一个随机值替代。相反，如果随机值替代后的表现没有太大差别，则表明该特征不那么重要，可有可无。所以，通过比较某特征被随机值替代前后的表现，就能推断出该特征的权重和重要性。

那么 random test 中的随机值如何选择呢？通常有两种方法：一是使用 uniform 或者 gaussian 抽取随机值替换原特征；一是通过 permutation 的方式将原来的所有 N 个样本的第 i 个特征值重新打乱分布（相当于重新洗牌）。比较而言，第二种方法更加科学，保证了特征替代值与原特征的分布是近似的（只是重新洗牌而已）。这种方法叫做 permutation test（随机排序测试），即在计算第 i 个特征的重要性的时候，将 N 个样本的第 i 个特征重新洗牌，然后比较 D 和表现的差异性。如果差异很大，则表明第 i 个特征是重要的。

知道了 permutation test 的原理后，接下来要考虑的问题是如何衡量上图中的 performance，即替换前后的表现。显然，我们前面介绍过 performance 可以用来衡量。但是，对于 N 个样本的第 i 个特征值重新洗牌重置的，要对它进行重新训练，而且每个特征都要重复训练，然后再与原 D 的表现进行比较，过程非常繁琐。为了简化运算，RF 的作者提出了一种方法，就是把 permutation 的操作从原来的 training 上移到了 OOB validation 上去，记为。也就是说，在训练的时候仍然使用 D，但是在 OOB 验证的时候，将所有的 OOB 样本的第 i 个特征重新洗牌，验证 G 的表现。这种做法大大简化了计算复杂度，在 RF 的 feature selection 中应用广泛。

Random Forest in Action

最后，我们通过实际的例子来看一下 RF 的特点。首先，仍然是一个二元分类的例子。如下图所示，左边是一个 C&RT 树没有使用 bootstrap 得到的模型分类效果，其中不同特征之间进行了随机组合，所以有斜线作为分类线；中间是由 bootstrap（N’=N/2）后生成的一棵决策树组成的随机森林，图中加粗的点表示被 bootstrap 选中的点；右边是将一棵决策树进行 bagging 后的分类模型，效果与中间图是一样的，都是一棵树。

当 t=100，即选择了 100 棵树时，中间的模型是第 100 棵决策树构成的，还是只有一棵树；右边的模型是由 100 棵决策树 bagging 起来的，如下图所示：

当 t=200 时：

当 t=300 时：

当 t=400 时：

当 t=500 时：

当 t=600 时：

当 t=700 时：

当 t=800 时：

当 t=900 时：

当 t=1000 时：

随着树木个数的增加，我们发现，分界线越来越光滑而且得到了 large-margin-like boundary，类似于 SVM 一样的效果。也就是说，树木越多，分类器的置信区间越大。

然后，我们再来看一个比较复杂的例子，二维平面上分布着许多离散点，分界线形如 sin 函数。当只有一棵树的时候（t=1），下图左边表示单一树组成的 RF，右边表示所有树 bagging 组合起来构成的 RF。因为只有一棵树，所以左右两边效果一致。

当 t=6 时：

当 t=11 时：

当 t=16 时：

当 t=21 时：

可以看到，当 RF 由 21 棵树构成的时候，分界线就比较平滑了，而且它的边界比单一树构成的 RF 要 robust 得多，更加平滑和稳定。

最后，基于上面的例子，再让问题复杂一点：在平面上添加一些随机噪声。当 t=1 时，如下图所示：

当 t=6 时：

当 t=11 时：

当 t=16 时：

当 t=21 时：

从上图中，我们发现 21 棵树的时候，随机 noise 的影响基本上能够修正和消除。这种 bagging 投票的机制能够保证较好的降噪性，从而得到比较稳定的结果。

经过以上三个例子，我们发现 RF 中，树的个数越多，模型越稳定越能表现得好。在实际应用中，应该尽可能选择更多的树。值得一提的是，RF 的表现同时也与 random seed 有关，即随机的初始值也会影响 RF 的表现。

总结：

本节课主要介绍了 Random Forest 算法模型。RF 将 bagging 与 decision tree 结合起来，通过把众多的决策树组进行组合，构成森林的形式，利用投票机制让 G 表现最佳，分类模型更稳定。其中为了让 decision tree 的随机性更强一些，可以采用 randomly projected subspaces 操作，即将不同的 features 线性组合起来，从而进行各式各样的切割。同时，我们也介绍了可以使用 OOB 样本来进行 self-validation，然后可以使用 self-validation 来对每个特征进行 permutaion test，得到不同特征的重要性，从而进行 feature selection。总的来说，RF 算法能够得到比较平滑的边界，稳定性强，前提是有足够多的树。

注明：

文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习技法》课程

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