Question

MATLAB提供了使用变换的命令，例如拉普拉斯和傅里叶变换。 变换在科学和工程中用作简化分析和从另一个角度查看数据的工具。

例如，傅立叶变换允许我们将表示为时间函数的信号转换为频率函数。 拉普拉斯变换允许我们将微分方程转换为代数方程。

MATLAB提供laplace ， fourier和fft命令，用于拉普拉斯，傅立叶和快速傅里叶变换。

拉普拉斯变换

时间f（t）函数的拉普拉斯变换由以下积分给出 -

拉普拉斯变换也表示为f（t）到F（s）的变换。 您可以看到此变换或积分过程将f（t）（符号变量t的函数）转换为另一个函数F（s），另一个变量为s。

拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程。 为了计算函数f（t）的拉普拉斯变换，写 -

laplace(f(t))

例子 (Example)

在这个例子中，我们将计算一些常用函数的拉普拉斯变换。

创建一个脚本文件并键入以下代码 -

syms s t a b w
laplace(a)
laplace(t^2)
laplace(t^9)
laplace(exp(-b*t))
laplace(sin(w*t))
laplace(cos(w*t))

运行该文件时，它显示以下结果 -

ans =
   1/s^2
ans =
   2/s^3
ans =
   362880/s^10
ans =
   1/(b + s)
ans =
   w/(s^2 + w^2)
ans =
   s/(s^2 + w^2)

逆拉普拉斯变换

MATLAB允许我们使用命令ilaplace计算逆拉普拉斯变换。

例如，

ilaplace(1/s^3)

MATLAB将执行上述语句并显示结果 -

ans =
   t^2/2

例子 (Example)

创建一个脚本文件并键入以下代码 -

syms s t a b w
ilaplace(1/s^7)
ilaplace(2/(w+s))
ilaplace(s/(s^2+4))
ilaplace(exp(-b*t))
ilaplace(w/(s^2 + w^2))
ilaplace(s/(s^2 + w^2))

运行该文件时，它显示以下结果 -

ans =
   t^6/720
ans =
   2*exp(-t*w)
ans =
   cos(2*t)
ans =
   ilaplace(exp(-b*t), t, x)
ans =
   sin(t*w)
ans =
   cos(t*w)

傅立叶变换

傅立叶变换通常将时间f（t）的数学函数变换为新函数，有时用F或F表示，其参数是频率，单位为周期/秒（赫兹）或每秒弧度。 然后，新函数被称为傅里叶变换和/或函数f的频谱。

例子 (Example)

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码 -

syms x 
f = exp(-2*x^2);     %our function
ezplot(f,[-2,2])     % plot of our function
FT = fourier(f)      % Fourier transform

运行该文件时，MATLAB绘制以下图表 -

显示以下结果 -

FT =
   (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2

将傅立叶变换绘制为 -

ezplot(FT)

给出以下图表 -

逆傅里叶变换

MATLAB提供了用于计算函数的逆傅立叶变换的ifourier命令。 例如，

f = ifourier(-2*exp(-abs(w)))

MATLAB将执行上述语句并显示结果 -

f =
   -2/(pi*(x^2 + 1))