Question

想象一下，一个函数

其中y 本身也是函数

如果我们愿意，我们也可以写为f =（x ³ + x ）² 。

f 如何随着y 的改变而改变？也就是，∂f / ∂y 是什么？只要应用刚刚得到的幂规则，乘上幂指数，幂指数减1，那么这个计算就很容易了，可以得到∂f / ∂y = 2y 。

还有一个有趣的问题——f 如何随着x 的变化而变化呢？可以展开表达式f =（x ³ + x ）² ，然后应用相同的规则。不能不加思索地硬套规则，将（x ³ + x ）² 变为2（x ³ + x ）。

如果像以前一样，采用逐渐减小的delta方式，通过漫长艰难的道路，解出了这个表达式，我们会意外发现这里存在着另一组模式。让我们直接跳到答案吧。

这个模式是这样的：

这是一个非常重要的结果，我们称之为链式法则。

可以看到，这个模式允许我们逐层计算出导数，就像剥洋葱，将复合的层一层一层解开。为了计算∂f / ∂x ，我们可能发现，先计算出∂f / ∂y ，然后再计算出∂y / ∂x ，这会比较容易一些。如果这些都比较容易，那么我们就可以对看起来不可能的表达式进行微积分运算。链式法则允许我们打破问题，将问题分割为较小、较容易的问题。

再次观察这个示例，应用链式法则：

现在，计算得到了比较简单的项。第一项是（∂f / ∂y ）= 2y ，第二项是（∂y / ∂x ）= 3x ² + 1。然后，使用链式法则，将这些项结合起来，我们得到：

我们知道，y = x ³ + x ，因此，得到了只有x 的表达式：

这真是见证神奇的一刻！

你可能会质疑为什么这样做，为什么不能首先根据x 展开f ，然后应用简单的幂规则，对所得到的多项式进行微积分运算。当然能这样做，但是如果这样的话，就不能详细说明链式法则，而链式法则可以解决许多比较困难的问题。

让我们来看看最后一个例子，这个示例演示了如何处理多个独立变量。

如果得到一个函数

其中x 、y 和z 是彼此无关的变量。我们说的无关是什么意思呢？我们的意思是，x、y 和z 可以为任意值，并且无需关心其他变量的取值——它们彼此之间不互相影响。这不同于前一个示例y =x ³ + x ，在这种情况下，y 与x 相关。

∂f / ∂x 是多少？让我们看看这个长表达式的每项。第一项是2xy ，因此导数为2y 。为什么这么简单呢？由于y 与x 无关，因此非常简单。当我们说∂f / ∂x ，我们说的是，当x 变化时，f 如何变化。如果y 与x 无关，那么可以将其视为常数。即y 也可能是如2、3、10的另一个数。

让我们继续，下一项是3x ² z 。可以应用幂规则，得到2×3xz 或6xz 。由于x 与z 无关，因此我们将z 视为如2、4或者100这样无聊的常数。z 的变化不会影响到x 。

最后一项是4z ，这项中不存在x 。由于我们将其视为如2或4的普通常数，因此这项完全消失了。

最后的答案是

在最后一个示例中，重要的一点是你要有信心，忽略已知的无关变量。这使得对相当复杂的表达式进行微积分运算变得非常简单。在观察神经网络的时候，我们非常需要这种深刻的见解。

你可以进行微积分运算了！

如果走到了这一步，那么你真是太棒了！

你真正理解了微积分的真谛，明白了如何使用逼进，一步一步地改善，直到最终引入了微积分。在其他困难的问题上，如果难以使用正常的方法求解，那么你可以尝试使用这些方法求解。

我们学习了幂规则和链式法则这两种技术，从而能够进行大量的微积分运算，包括理解神经网络的工作机制和原理。

享受你的新力量吧！