Question

线性代数可以对一组线性方程进行简洁地表示和运算。例如，对于这个方程组:

这里有两个方程和两个变量，如果你学过高中代数的话，你肯定知道，可以为 x1 和 x2 找到一组唯一的解 (除非方程可以进一步简化，例如，如果第二个方程只是第一个方程的倍数形式。但是显然上面的例子不可简化，是有唯一解的)。在矩阵表达中，我们可以简洁的写作:

其中：

很快我们将会看到，咱们把方程表示成这种形式，在分析线性方程方面有很多优势（包括明显地节省空间)。

1.1 基本符号

以下是我们要使用符号:

• 符号 A ∈ R^m×n表示一个 m 行 n 列的矩阵，并且矩阵 A 中的所有元素都是实数。
• 符号 x ∈ Rⁿ表示一个含有 n 个元素的向量。通常，我们把 n 维向量看成是一个 n 行 1 列矩阵，即列向量。如果我们想表示一个行向量（1 行 n 列矩阵），我们通常写作 x^T ( x^T 表示 x 的转置，后面会解释它的定义)。
• 一个向量 x 的第 i 个元素表示为 x_i：

• 我们用 a_ij (或 A_ij，A_i，j ，等) 表示第 i 行第 j 列的元素：

• 我们用 a_j 或 A _{: ，j} 表示 A 矩阵的第 j 列元素：

• 我们用 a^T _i或 A_i，: 表示矩阵的第 i 行元素:

  

• 请注意，这些定义都是不严格的（例如， a₁ 和 a₁^T 在前面的定义中是两个不同向量）。通常使用中，符号的含义应该是可以明显看出来的。