Question

1. 假设随机变量 $ MathJax-Element-516 $ 满足 $ MathJax-Element-517 $ ，且函数 $ MathJax-Element-521 $ 满足：处处连续、可导、且存在反函数。 则有：

   $ p_X(x)=p_Y(g(x)) \left|\frac{\partial g(x)}{\partial x}\right| $

   或者等价地（其中 $ MathJax-Element-519 $ 为反函数）：

   $ p_Y(y)=p_X(g^{-1}(y)) \left|\frac{\partial x}{\partial y}\right| $

   • 如果扩展到高维空间，则有：

     $ p_X(\mathbf{\vec x})=p_Y(g(\mathbf{\vec x})) \left|\det\left(\frac{\partial g(\mathbf{\vec x})}{\partial \mathbf{\vec x}}\right)\right| $

   • 并不是 $ MathJax-Element-520 $ ，这是因为 $ MathJax-Element-521 $ 引起了空间扭曲，从而导致 $ MathJax-Element-522 $ 。

     根据 $ MathJax-Element-523 $ ，求解该方程，即得到上述解。

2. 机器学习中不确定性有三个来源：

   • 模型本身固有的随机性。如：量子力学中的粒子动力学方程。

   • 不完全的观测。即使是确定性系统，当无法观测所有驱动变量时，结果也是随机的。

   • 不完全建模。有时必须放弃一些观测信息。

     如机器人建模中：虽然可以精确观察机器人周围每个对象的位置，但在预测这些对象将来的位置时，对空间进行了离散化。则位置预测将带有不确定性。