Question

Source

• lintcode: (50) Product of Array Exclude Itself
• GeeksforGeeks: A Product Array Puzzle - GeeksforGeeks

Given an integers array A.

Define B[i] = A[0] * ... * A[i-1] * A[i+1] * ... * A[n-1], calculate B WITHOUT divide operation.

Example
For A=[1, 2, 3], return [6, 3, 2].

题解 1 - 左右分治

根据题意，有 result[i]=left[i]⋅right[i]result[i] = left[i] \cdot right[i]result[i]=left[i]⋅right[i], 其中 left[i]=∏j=0i−1A[j]left[i] = \prod _{j = 0} ^{i - 1} A[j]left[i]=∏j=0i−1A[j], right[i]=∏j=i+1n−1A[j]right[i] = \prod _{j = i + 1} ^{n - 1} A[j]right[i]=∏j=i+1n−1A[j]. 即将最后的乘积分为两部分求解，首先求得左半部分的值，然后求得右半部分的值。最后将左右两半部分乘起来即为解。

C++

class Solution {
public:
  /**
   * @param A: Given an integers array A
   * @return: A long long array B and B[i]= A[0] * ... * A[i-1] * A[i+1] * ... * A[n-1]
   */
  vector<long long> productExcludeItself(vector<int> &nums) {
    const int nums_size = nums.size();
    vector<long long> result(nums_size, 1);
    if (nums.empty() || nums_size == 1) {
      return result;
    }

    vector<long long> left(nums_size, 1);
    vector<long long> right(nums_size, 1);
    for (int i = 1; i != nums_size; ++i) {
      left[i] = left[i - 1] * nums[i - 1];
      right[nums_size - i - 1] = right[nums_size - i] * nums[nums_size - i];
    }
    for (int i = 0; i != nums_size; ++i) {
      result[i] = left[i] * right[i];
    }

    return result;
  }
};

源码分析

一次 for 循环求出左右部分的连乘积，下标的确定可使用简单例子辅助分析。

复杂度分析

两次 for 循环，时间复杂度 O(n)O(n)O(n). 使用了左右两半部分辅助空间，空间复杂度 O(2n)O(2n)O(2n).

题解 2 - 原地求积

题解 1 中使用了左右两个辅助数组，但是仔细瞅瞅其实可以发现完全可以在最终返回结果 result 基础上原地计算左右两半部分的积。

C++

class Solution {
public:
  /**
   * @param A: Given an integers array A
   * @return: A long long array B and B[i]= A[0] * ... * A[i-1] * A[i+1] * ... * A[n-1]
   */
  vector<long long> productExcludeItself(vector<int> &nums) {
    const int nums_size = nums.size();
    vector<long long> result(nums_size, 1);

    // solve the left part first
    for (int i = 1; i < nums_size; ++i) {
      result[i] = result[i - 1] * nums[i - 1];
    }

    // solve the right part
    long long temp = 1;
    for (int i = nums_size - 1; i >= 0; --i) {
      result[i] *= temp;
      temp *= nums[i];
    }

    return result;
  }
};

源码分析

计算左半部分的递推式不用改，计算右半部分的乘积时由于会有左半部分值的干扰，故使用 temp 保存连乘的值。注意 temp 需要使用 long long , 否则会溢出。

复杂度分析

时间复杂度同上，空间复杂度为 O(1)O(1)O(1).