Question

2355. 你能拿走的最大图书数量

English Version

题目描述

给定一个长度为 n 的 下标从 0 开始 的整数数组 books，其中 books[i] 表示书架的第 i 个书架上的书的数量。

你要从书架 l 到 r 的一个 连续 的部分中取书，其中 0 <= l <= r < n。对于 l <= i < r 范围内的每个索引 i，你从书架 i 取书的数量必须 严格小于 你从书架 i + 1 取书的数量。

返回_你能从书架上拿走的书的 最大 数量。_

 

示例 1:

输入: books = [8,5,2,7,9]
输出: 19
解释:
- 从书架 1 上取 1 本书。
- 从书架 2 上取 2 本书。
- 从书架 3 上取 7 本书
- 从书架 4 上取 9 本书
你已经拿了19本书，所以返回 19。
可以证明 19 本是你所能拿走的书的最大数量。

示例 2:

输入: books = [7,0,3,4,5]
输出: 12
解释:
- 从书架 2 上取 3 本书。
- 从书架 3 上取 4 本书。
- 从书架 4 上取 5 本书。
你已经拿了 12 本书，所以返回 12。
可以证明 12 本是你所能拿走的书的最大数量。

示例 3:

输入: books = [8,2,3,7,3,4,0,1,4,3]
输出: 13
解释:
- 从书架 0 上取 1 本书。
- 从书架 1 上取 2 本书。
- 从书架 2 上取 3 本书。
- 从书架 3 上取 7 本书。
你已经拿了 13 本书，所以返回 13。
可以证明 13 本是你所能拿走的书的最大数量。

 

提示:

• 1 <= books.length <= 105
• 0 <= books[i] <= 105

解法

方法一：单调栈 + 动态规划

我们定义 $dp[i]$ 表示以 $books[i]$ 结尾时能取走的书的最大数量。

若从 $i$ 到 $0$ 可以取成一个公差为 $1$ 的等差数列，那么 $dp[i]$ 可以直接通过等差数列求和算出。

若从 $i$ 到 $0$ 不能取成一个公差为 $-1$ 的等差数列，即这个规律在某个 $j$ 处断掉了（$0 \le j \lt i$），那么一定有 $books[j] \lt books[i] - (i-j)$，也即 $books[j] - j \lt books[i] - i$，利用单调栈在新数组 $books[i] - i$ 的每个位置，找到左边第一个比它严格小的数的位置，可以求出符合题意的 $j$，此时 $dp[i]=dp[j] + \sum_{k=j+1}^{i} (books[k]-k)$。

答案为 $\max_{i=0}^{n-1} dp[i]$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 为数组长度。

class Solution:
  def maximumBooks(self, books: List[int]) -> int:
    nums = [v - i for i, v in enumerate(books)]
    n = len(nums)
    left = [-1] * n
    stk = []
    for i, v in enumerate(nums):
      while stk and nums[stk[-1]] >= v:
        stk.pop()
      if stk:
        left[i] = stk[-1]
      stk.append(i)
    ans = 0
    dp = [0] * n
    dp[0] = books[0]
    for i, v in enumerate(books):
      j = left[i]
      cnt = min(v, i - j)
      u = v - cnt + 1
      s = (u + v) * cnt // 2
      dp[i] = s + (0 if j == -1 else dp[j])
      ans = max(ans, dp[i])
    return ans

class Solution {
  public long maximumBooks(int[] books) {
    int n = books.length;
    int[] nums = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      nums[i] = books[i] - i;
    }
    int[] left = new int[n];
    Arrays.fill(left, -1);
    Deque<Integer> stk = new ArrayDeque<>();
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      while (!stk.isEmpty() && nums[stk.peek()] >= nums[i]) {
        stk.pop();
      }
      if (!stk.isEmpty()) {
        left[i] = stk.peek();
      }
      stk.push(i);
    }
    long ans = 0;
    long[] dp = new long[n];
    dp[0] = books[0];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int j = left[i];
      int v = books[i];
      int cnt = Math.min(v, i - j);
      int u = v - cnt + 1;
      long s = (long) (u + v) * cnt / 2;
      dp[i] = s + (j == -1 ? 0 : dp[j]);
      ans = Math.max(ans, dp[i]);
    }
    return ans;
  }
}

using ll = long long;

class Solution {
public:
  long long maximumBooks(vector<int>& books) {
    int n = books.size();
    vector<int> nums(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) nums[i] = books[i] - i;
    vector<int> left(n, -1);
    stack<int> stk;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      while (!stk.empty() && nums[stk.top()] >= nums[i]) stk.pop();
      if (!stk.empty()) left[i] = stk.top();
      stk.push(i);
    }
    vector<ll> dp(n);
    dp[0] = books[0];
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      int v = books[i];
      int j = left[i];
      int cnt = min(v, i - j);
      int u = v - cnt + 1;
      ll s = 1ll * (u + v) * cnt / 2;
      dp[i] = s + (j == -1 ? 0 : dp[j]);
      ans = max(ans, dp[i]);
    }
    return ans;
  }
};

func maximumBooks(books []int) int64 {
  n := len(books)
  nums := make([]int, n)
  left := make([]int, n)
  for i, v := range books {
    nums[i] = v - i
    left[i] = -1
  }
  stk := []int{}
  for i, v := range nums {
    for len(stk) > 0 && nums[stk[len(stk)-1]] >= v {
      stk = stk[:len(stk)-1]
    }
    if len(stk) > 0 {
      left[i] = stk[len(stk)-1]
    }
    stk = append(stk, i)
  }
  dp := make([]int, n)
  dp[0] = books[0]
  ans := 0
  for i, v := range books {
    j := left[i]
    cnt := min(v, i-j)
    u := v - cnt + 1
    s := (u + v) * cnt / 2
    dp[i] = s
    if j != -1 {
      dp[i] += dp[j]
    }
    ans = max(ans, dp[i])
  }
  return int64(ans)
}