Distinct Subsequences

发布于 2025-02-22 13:01:33 字数 7695 浏览 0 评论 0 收藏 0

Source

leetcode: Distinct Subsequences | LeetCode OJ
lintcode: (118) Distinct Subsequences

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.
A subsequence of a string is a new string
which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters
without disturbing the relative positions of the remaining characters.
(ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Example
Given S = "rabbbit", T = "rabbit", return 3.
Challenge
Do it in O(n2) time and O(n) memory.

O(n2) memory is also acceptable if you do not know how to optimize memory.

题解 1

首先分清 subsequence 和 substring 两者的区别，subsequence 可以是不连续的子串。题意要求 S 中子序列 T 的个数。如果不考虑程序实现，我们能想到的办法是逐个比较 S 和 T 的首字符，相等的字符删掉，不等时则删除 S 中的首字符，继续比较后续字符直至 T 中字符串被删完。这种简单的思路有这么几个问题，题目问的是子序列的个数，而不是是否存在，故在字符不等时不能轻易删除掉 S 中的字符。那么如何才能得知子序列的个数呢？

要想得知不同子序列的个数，那么我们就不能在 S 和 T 中首字符不等时简单移除 S 中的首字符了，取而代之的方法应该是先将 S 复制一份，再用移除 S 中首字符后的新字符串和 T 进行比较，这点和深搜中的剪枝函数的处理有点类似。

Python

class Solution:
  # @param S, T: Two string.
  # @return: Count the number of distinct subsequences
  def numDistinct(self, S, T):
    if S is None or T is None:
      return 0
    if len(S) < len(T):
      return 0
    if len(T) == 0:
      return 1

    num = 0
    for i, Si in enumerate(S):
      if Si == T[0]:
        num += self.numDistinct(S[i + 1:], T[1:])

    return num

C++

class Solution {
public:
  /**
   * @param S, T: Two string.
   * @return: Count the number of distinct subsequences
   */
  int numDistinct(string &S, string &T) {
    if (S.size() < T.size()) return 0;
    if (T.empty()) return 1;

    int num = 0;
    for (int i = 0; i < S.size(); ++i) {
      if (S[i] == T[0]) {
        string Si = S.substr(i + 1);
        string t = T.substr(1);
        num += numDistinct(Si, t);
      }
    }

    return num;
  }
};

Java

public class Solution {
  /**
   * @param S, T: Two string.
   * @return: Count the number of distinct subsequences
   */
  public int numDistinct(String S, String T) {
    if (S == null || T == null) return 0;
    if (S.length() < T.length()) return 0;
    if (T.length() == 0) return 1;

    int num = 0;
    for (int i = 0; i < S.length(); i++) {
      if (S.charAt(i) == T.charAt(0)) {
        // T.length() >= 1, T.substring(1) will not throw index error
        num += numDistinct(S.substring(i + 1), T.substring(1));
      }
    }

    return num;
  }
}

源码分析

对 null 异常处理(C++ 中对 string 赋 NULL 是错的，函数内部无法 handle 这种情况)
S 字符串长度若小于 T 字符串长度，T 必然不是 S 的子序列，返回 0
T 字符串长度为 0，证明 T 是 S 的子序列，返回 1

由于进入 for 循环的前提是 T.length() >= 1 , 故当 T 的长度为 1 时，Java 中对 T 取子串 T.substring(1) 时产生的是空串 "" 而并不抛出索引越界的异常。

复杂度分析

最好情况下，S 中没有和 T 相同的字符，时间复杂度为 O(n)O(n)O(n); 最坏情况下，S 中的字符和 T 中字符完全相同，此时可以画出递归调用栈，发现和深搜非常类似，数学关系为 f(n)=∑i=1n−1f(i)f(n) = \sum _{i = 1} ^{n - 1} f(i)f(n)=∑i=1n−1f(i), 这比 Fibonacci 的复杂度还要高很多。

题解 2 - Dynamic Programming

从题解 1 的复杂度分析中我们能发现由于存在较多的重叠子状态（相同子串被比较多次), 因此可以想到使用动态规划优化。但是动规的三大要素如何建立？由于本题为两个字符串之间的关系，故可以尝试使用双序列( DP_Two_Sequence ) 动规的思路求解。

定义 f[i][j] 为 S[0:i] 中子序列为 T[0:j] 的个数，接下来寻找状态转移关系，状态转移应从 f[i-1][j], f[i-1][j-1], f[i][j-1] 中寻找，接着寻找突破口——S[i] 和 T[j] 的关系。

S[i] == T[j] : 两个字符串的最后一个字符相等，我们可以选择 S[i] 和 T[j] 配对，那么此时有 f[i][j] = f[i-1][j-1]; 若不使 S[i] 和 T[j] 配对，而是选择 S[0:i-1] 中的某个字符和 T[j] 配对，那么 f[i][j] = f[i-1][j]. 综合以上两种选择，可得知在 S[i] == T[j] 时有 f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j]
S[i] != T[j] : 最后一个字符不等时，S[i] 不可能和 T[j] 配对，故 f[i][j] = f[i-1][j]

为便于处理第一个字符相等的状态（便于累加)，初始化 f[i][0]为 1, 其余为 0. 这里对于 S 或 T 为空串时返回 0，返回 1 也能说得过去。

Python

class Solution:
  # @param S, T: Two string.
  # @return: Count the number of distinct subsequences
  def numDistinct(self, S, T):
    if S is None or T is None:
      return 0
    if len(S) < len(T):
      return 0
    if len(T) == 0:
      return 1

    f = [[0 for i in xrange(len(T) + 1)] for j in xrange(len(S) + 1)]
    for i, Si in enumerate(S):
      f[i][0] = 1
      for j, Tj in enumerate(T):
        if Si == Tj:
          f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1] + f[i][j]
        else:
          f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1]

    return f[len(S)][len(T)]

C++

class Solution {
public:
  /**
   * @param S, T: Two string.
   * @return: Count the number of distinct subsequences
   */
  int numDistinct(string &S, string &T) {
    if (S.size() < T.size()) return 0;
    if (T.empty()) return 1;

    vector<vector<int> > f(S.size() + 1, vector<int>(T.size() + 1, 0));
    for (int i = 0; i < S.size(); ++i) {
      f[i][0] = 1;
      for (int j = 0; j < T.size(); ++j) {
        if (S[i] == T[j]) {
          f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1] + f[i][j];
        } else {
          f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1];
        }
      }
    }

    return f[S.size()][T.size()];
  }
};

Java

public class Solution {
  /**
   * @param S, T: Two string.
   * @return: Count the number of distinct subsequences
   */
  public int numDistinct(String S, String T) {
    if (S == null || T == null) return 0;
    if (S.length() < T.length()) return 0;
    if (T.length() == 0) return 1;

    int[][] f = new int[S.length() + 1][T.length() + 1];
    for (int i = 0; i < S.length(); i++) {
      f[i][0] = 1;
      for (int j = 0; j < T.length(); j++) {
        if (S.charAt(i) == T.charAt(j)) {
          f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1] + f[i][j];
        } else {
          f[i + 1][j + 1] = f[i][j + 1];
        }
      }
    }

    return f[S.length()][T.length()];
  }
}

源码分析

异常处理部分和题解 1 相同，初始化时维度均多一个元素便于处理。

复杂度分析

由于免去了重叠子状态的计算，双重 for 循环，时间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2), 使用了二维矩阵保存状态，空间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2). 空间复杂度可以通过滚动数组的方式优化，详见 Dynamic Programming - 动态规划 .

空间复杂度优化之后的代码如下：

Java

public class Solution {
  /**
   * @param S, T: Two string.
   * @return: Count the number of distinct subsequences
   */
  public int numDistinct(String S, String T) {
    if (S == null || T == null) return 0;
    if (S.length() < T.length()) return 0;
    if (T.length() == 0) return 1;

    int[] f = new int[T.length() + 1];
    f[0] = 1;
    for (int i = 0; i < S.length(); i++) {
      for (int j = T.length() - 1; j >= 0; j--) {
        if (S.charAt(i) == T.charAt(j)) {
            f[j + 1] += f[j];
        }
      }
    }

    return f[T.length()];
  }
}