Question

Functional Equation

普通的方程式，已知数、未知数全是实数。“函数方程式”则全是函数。函数运算有加减乘除模複合微积散旋代入，变化更多了。

                d            g(x+2)
∫ f(x) dx + 2 = ―― f(g(x)) + ――――――
                dx            f(x)

函数方程式当中的实数，其实是函数，称作“ 常数函数 ”。

Functional

普通的函数，输入、输出全是实数。“泛函数”则全是函数。

                                        d            g(x+2)
L(f(x), g(x), g(x+2)) = ∫ f(x) dx + 2 - ―― f(g(x)) - ――――――
                                        dx            f(x)

简单来说，“泛函数”就是函数的函数。

此处的 functional 是一个特别的名词。我不清楚数学家为何故意让“泛函数（名词）”跟“函数的（形容词）”撞名。

Ordinary Differential Equation（Under Construction!）

范例：古典力学

真实世界的物理现象，物理学家习惯写成函数方程式。想要用电脑模拟真实世界，设计函数方程式、解函数方程式是必备技能。

比方说，记录物体所在位置。根据人类目前所知，物体不会分身，不会同时出现在两个位置，符合函数的概念；物体不会瞬移，不会瞬时出现在遥远位置，符合连续的概念。因此物体所在位置可以表示成一个连续函数 u。

数学家创造了函数、连续，主要是为了符合人类认知。如果影分身之术、飞雷神之术成真，那麽数学家势必要创造其他数学元件，以符合新认知。

方才的位置，是一维数线上面的位置，是一个数值。位置可以在二维平面、三维空间，而函数输出就是二维向量、三维向量了。

物理课教过直线运动。位置是一维数线上的位置。位置的变化快慢，称作速度，符合微分的概念。u′就是速度。

物理课教过等速运动。当速度是 5，可以列出等式 u′ = 5。大家把 5 视作一个函数，而非一个实数。

速度也可以忽快忽慢。自订速度 v，可以列出等式 u′ = v。

物理课教过等加速度运动。当自由落体，加速度是重力加速度 g，g 是一个常数约 9.8，可以列出等式 u″ = g。如果又有空气阻力 f，得到加速度 a = f/m，可以列出等式 u″ = g + f/m。

加速度也可以不断变化。当彗星撞地球，加速度是引力加速度 g = Gm₁m₂ / r²，G 是万有引力常数约 6.7e-11，m₁和 m₂是质量，r 是距离。地心座标定成 0，可以列出等式 u″ = Gm₁m₂ / u²。

我们的目标就是解 u，知道物体的所在位置。

Differential Equation

“微分方程式”。数学家从微分运算开始著手，因此出现了这个称呼。又细分为 ODE：输入变数只有一种、PDE：输入变数超过一种。

大家习惯先试符号解（公式解），再试数值解。详细流程：查阅工程数学教科书，手工推导符号解，写成程式码。然而，大多数时候，函数很複杂，甚至函数不是多项式函数，难以手工推导符号解。何况目前也没有特别好的演算法，能让电脑自动推导符号解。最后只好运用下面章节的演算法，求得数值解。

Ordinary Differential Equation

           d
f(x) + 2 = ―― f(x) + 2 g(x)
           dx

f + 2 = f' + 2g   省略 x 的部分，微分换成撇

大家为了简洁起见，微分一次两次三次，标记成 f′ f″ f‴，右上角一撇两撇三撇；或者标记成ḟ f̈ f⃛，上方一点两点三点。

演算法（Runge-Kutta Method）

一次走一步，每一步从最高次导数递推到最低次导数。

Euler / Verlet

演算法（Galerkin Method）

假设正确答案是某一套函数基底的线性组合。问题变成解线性方程组。

http://www.sd.rub.de/downloads/Galerkin_method

Partial Differential Equation（Under Construction!）

范例：流体力学

水中的每个位置，都有一个水分子。每个水分子都有速度，符合场的概念。注意到这裡没有时间轴。水分子的速度可以表示成一个三维向量场 u。

水分子往周围对流，那就是 u = Δu。

水分子受重力影响，那就是 u″ = g。

Partial Differential Equation

http://www.math.harvard.edu/archive/21a_fall_15/supplements/pde/

http://heath.cs.illinois.edu/scicomp/notes/index.html

Laplace Equation    Δf = 0
Poisson Equation    Δf = ∇g
Heat Equation       Δf = k df/dt
Wave Equation       Δf = k d²f/dt²
Helmholtz Equation  Δf = λf (Vibration Modes)(Dirichlet Eigenvalue)

Hamilton-Jacobi-Bellman Equation

解方程式，是将等式重新整理成函数的格式，求根、求不动点、求特徵点。解函数方程式，如法炮制，改为求特徵函数。

经典的微分方程，特徵函数通常是複数螺旋线 e^it。因此任意函数的微分，可以写成特徵函数的线性组合。

UVa 199

Integral Equation（Under Construction!）

Integral Equation

Gauss quadrature
Ewald summation
http://homerreid.dyndns.org/teaching/18.330/Notes/EwaldSummation.pdf
MCMC integration

1/e^(x^2) sqrt(pi)
1/x       ln(x) 发散
1/(x^2)   pi^2 / 6  (离散版本)
1/x!      e         (离散版本)