Question

现在我们来换一种思考方式，普里姆（Prim）算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。这就像是我们如果去参观某个展会，例如世博会，你从一个入口进去，然后找你所在位置周边的场馆中你最感兴趣的场馆观光，看完后再用同样的办法看下一个。可我们为什么不事先计划好，进园后直接到你最想去的场馆观看呢？事实上，去世博园的观众，绝大多数都是这样做的。

同样的思路，我们也可以直接就以边为目标去构建，因为权值是在边上，直接去找最小权值的边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码：

/* 对边集数组Edge结构的定义 */
typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
} Edge;

我们将图7-6-3的邻接矩阵通过程序转化为图7-6-7的右图的边集数组，并且对它们按权值从小到大排序。

图7-6-7

于是克鲁斯卡尔（Kruskal）算法代码如下，左侧数字为行号。其中MAXEDGE为边数量的极大值，此处大于等于15即可，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于9即可。现在假设我们自己就是计算机，在调用MiniSpanTree_Kruskal函数，输入图7-6-3右图的邻接矩阵后，看看它是如何运行并打印出最小生成树的。

/* Kruskal算法生成最小生成树 */
/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)     
{
    int i, n, m;
    /* 定义边集数组 */
    Edge edges[MAXEDGE];                
    /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
    int parent[MAXVEX];                 
    /* 此处省略将邻接矩阵G转化为边集数组edges
       并按权由小到大排序的代码 */
    for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
        /* 初始化数组值为0 */
        parent[i] = 0;                  
    /* 循环每一条边 */
    for (i = 0; i < G.numEdges; i++)    
    {
       n = Find(parent, edges[i].begin);
       m = Find(parent, edges[i].end);
       /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路 */
       if (n != m)                     
       {
           /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中 */
           /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
           parent[n] = m;              
           printf("(%d, %d) %d ", edges[i].begin, 
                  edges[i].end, edges[i].weight);
       }
    }
}
/* 查找连线顶点的尾部下标 */
int Find(int *parent, int f)            
{
    while (parent[f] > 0)
        f = parent[f];
    return f;
}

1．程序开始运行，第5行之后，我们省略掉颇占篇幅但却很容易实现的将邻接矩阵转换为边集数组，并按权值从小到大排序的代码，也就是说，在第5行开始，我们已经有了结构为edge，数据内容是图7-6-7的右图的一维数组edges。

2．第5～7行，我们声明一个数组parent，并将它的值都初始化为0，它的作用我们后面慢慢说。

3．第8～17行，我们开始对边集数组做循环遍历，开始时，i=0。

4．第10行，我们调用了第19～25行的函数Find，传入的参数是数组parent和当前权值最小边(v₄,v₇)的begin:4。因为parent中全都是0所以传出值使得n=4。

5．第11行，同样作法，传入(v₄,v₇)的end:7。传出值使得m=7。

6．第12～16行，很显然n与m不相等，因此parent[4]=7。此时parent数组值为{0,0,0,0,7,0,0,0,0}，并且打印得到“(4,7)7”。此时我们已经将边(v₄,v₇)纳入到最小生成树中，如图7-6-8所示。

图7-6-8

7．循环返回，执行10～16行，此时i=1，edge[1]得到边(v₂,v₈)，n=2，m=8，par-ent[2]=8，打印结果为“(2,8)8”，此时parent数组值为{0,0,8,0,7,0,0,0,0}，这也就表示边(v₄,v₇)和边(v₂,v₈)已经纳入到最小生成树，如图7-6-9所示。

图7-6-9

8．再次执行10～16行，此时i=2，edge[2]得到边(v₀,v₁)，n=0，m=1，parent[0]=1，打印结果为“(0,1)10”，此时parent数组值为{1,0,8,0,7,0,0,0,0}，此时边(v₄,v₇)、(v₂,v₈)和(v₀,v₁)已经纳入到最小生成树，如图7-6-10所示。

图7-6-10

9．当i=3、4、5、6时，分别将边(v₀,v₅)、(v₁,v₈)、(v₃,v₇)、(v₁,v₆)纳入到最小生成树中，如图7-6-11所示。此时parent数组值为{1,5,8,7,7,8,0,0,6}，怎么去解读这个数组现在这些数字的意义呢？

图7-6-11

从图7-6-11的右下方的图i=6的粗线连线可以得到，我们其实是有两个连通的边集合A与B中纳入到最小生成树中的，如图7-6-12所示。当parent[0]=1，表示v₀和v₁已经在生成树的边集合A中。此时将parent[0]=1的1改为下标，由par-ent[1]=5，表示v₁和v₅在边集合A中，par-ent[5]=8表示v₅与v₈在边集合A中，par-ent[8]=6表示v₈与v₆在边集合A中，par-ent[6]=0表示集合A暂时到头，此时边集合A有v₀、v₁、v₅、v₈、v₆。我们查看parent中没有查看的值，parent[2]=8表示v₂与v₈在一个集合中，因此v₂也在边集合A中。再由parent[3]=7、par-ent[4]=7和parent[7]=0可知v₃、v₄、v₇在另一个边集合B中。

图7-6-12

10．当i=7时，第10行，调用Find函数，会传入参数edges[7].begin=5。此时第21行，parent[5]=8>0，所以f=8，再循环得par-ent[8]=6。因parent[6]=0所以Find返回后第10行得到n=6。而此时第11行，传入参数edges[7].end=6得到m=6。此时n=m，不再打印，继续下一循环。这就告诉我们，因为边(v₅,v₆)使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如图7-6-12所示。11．当i=8时，与上面相同，由于边(v₁,v₂)使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如图7-6-12所示。12．当i=9时，边(v₆,v₇)，第10行得到n=6，第11行得到m=7，因此parent[6]=7，打印“(6,7)19”。此时parent数组值为{1,5,8,7,7,8,7,0,6}，如图7-6-13所示。13．此后边的循环均造成环路，最终最小生成树即为图7-6-13所示。

图7-6-13

好了，我们来把克鲁斯卡尔（Kruskal）算法的实现定义归纳一下结束这一节的讲解。

假设N=(V,{E})是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T={V,{}}，图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

此算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为O(loge)，而外面有一个for循环e次。所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。

对比两个算法，克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而普里姆算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。