Question

1201. 丑数 III

English Version

题目描述

给你四个整数：n 、a 、b 、c ，请你设计一个算法来找出第 n 个丑数。

丑数是可以被 a 或 b 或 c 整除的 正整数 。

 

示例 1：

输入：n = 3, a = 2, b = 3, c = 5
输出：4
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10... 其中第 3 个是 4。

示例 2：

输入：n = 4, a = 2, b = 3, c = 4
输出：6
解释：丑数序列为 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12... 其中第 4 个是 6。

示例 3：

输入：n = 5, a = 2, b = 11, c = 13
输出：10
解释：丑数序列为 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13... 其中第 5 个是 10。

示例 4：

输入：n = 1000000000, a = 2, b = 217983653, c = 336916467
输出：1999999984

 

提示：

• 1 <= n, a, b, c <= 10^9
• 1 <= a * b * c <= 10^18
• 本题结果在 [1, 2 * 10^9] 的范围内

解法

方法一：二分查找 + 容斥原理

我们可以将题目转换为：找到最小的正整数 $x$，使得小于等于 $x$ 的丑数个数恰好为 $n$ 个。

对于一个正整数 $x$，能被 $a$ 整除的数有 $\left\lfloor \frac{x}{a} \right\rfloor$ 个，能被 $b$ 整除的数有 $\left\lfloor \frac{x}{b} \right\rfloor$ 个，能被 $c$ 整除的数有 $\left\lfloor \frac{x}{c} \right\rfloor$ 个，能被 $a$ 和 $b$ 同时整除的数有 $\left\lfloor \frac{x}{lcm(a, b)} \right\rfloor$ 个，能被 $a$ 和 $c$ 同时整除的数有 $\left\lfloor \frac{x}{lcm(a, c)} \right\rfloor$ 个，能被 $b$ 和 $c$ 同时整除的数有 $\left\lfloor \frac{x}{lcm(b, c)} \right\rfloor$ 个，能被 $a$, $b$ 和 $c$ 同时整除的数有 $\left\lfloor \frac{x}{lcm(a, b, c)} \right\rfloor$ 个。根据容斥原理，小于等于 $x$ 的丑数个数为：

$$ \left\lfloor \frac{x}{a} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x}{b} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x}{c} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{lcm(a, b)} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{lcm(a, c)} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{lcm(b, c)} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x}{lcm(a, b, c)} \right\rfloor $$

我们可以使用二分查找的方法找到最小的正整数 $x$，使得小于等于 $x$ 的丑数个数恰好为 $n$ 个。

定义二分查找的左边界为 $l=1$，右边界为 $r=2 \times 10^9$，其中 $2 \times 10^9$ 是题目给定的最大值。在二分查找的每一步中，我们找出中间数 $mid$，如果小于等于 $mid$ 的丑数个数大于等于 $n$，那么说明最小的正整数 $x$ 落在 $[l,mid]$ 区间内，否则落在 $[mid+1,r]$ 区间内。在二分查找的过程中，我们需要不断更新小于等于 $mid$ 的丑数个数，直到找到最小的正整数 $x$。

时间复杂度 $O(\log m)$，其中 $m = 2 \times 10^9$。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def nthUglyNumber(self, n: int, a: int, b: int, c: int) -> int:
    ab = lcm(a, b)
    bc = lcm(b, c)
    ac = lcm(a, c)
    abc = lcm(a, b, c)
    l, r = 1, 2 * 10**9
    while l < r:
      mid = (l + r) >> 1
      if (
        mid // a
        + mid // b
        + mid // c
        - mid // ab
        - mid // bc
        - mid // ac
        + mid // abc
        >= n
      ):
        r = mid
      else:
        l = mid + 1
    return l

class Solution {
  public int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {
    long ab = lcm(a, b);
    long bc = lcm(b, c);
    long ac = lcm(a, c);
    long abc = lcm(ab, c);
    long l = 1, r = 2000000000;
    while (l < r) {
      long mid = (l + r) >> 1;
      if (mid / a + mid / b + mid / c - mid / ab - mid / bc - mid / ac + mid / abc >= n) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    return (int) l;
  }

  private long gcd(long a, long b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }

  private long lcm(long a, long b) {
    return a * b / gcd(a, b);
  }
}

class Solution {
public:
  int nthUglyNumber(int n, int a, int b, int c) {
    long long ab = lcm(a, b);
    long long bc = lcm(b, c);
    long long ac = lcm(a, c);
    long long abc = lcm(ab, c);
    long long l = 1, r = 2000000000;
    while (l < r) {
      long long mid = (l + r) >> 1;
      if (mid / a + mid / b + mid / c - mid / ab - mid / bc - mid / ac + mid / abc >= n) {
        r = mid;
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    return l;
  }

  long long lcm(long long a, long long b) {
    return a * b / gcd(a, b);
  }

  long long gcd(long long a, long long b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
  }
};

func nthUglyNumber(n int, a int, b int, c int) int {
  ab, bc, ac := lcm(a, b), lcm(b, c), lcm(a, c)
  abc := lcm(ab, c)
  var l, r int = 1, 2e9
  for l < r {
    mid := (l + r) >> 1
    if mid/a+mid/b+mid/c-mid/ab-mid/bc-mid/ac+mid/abc >= n {
      r = mid
    } else {
      l = mid + 1
    }
  }
  return l
}

func gcd(a, b int) int {
  if b == 0 {
    return a
  }
  return gcd(b, a%b)
}

func lcm(a, b int) int {
  return a * b / gcd(a, b)
}

function nthUglyNumber(n: number, a: number, b: number, c: number): number {
  const ab = lcm(BigInt(a), BigInt(b));
  const bc = lcm(BigInt(b), BigInt(c));
  const ac = lcm(BigInt(a), BigInt(c));
  const abc = lcm(BigInt(a), bc);
  let l = 1n;
  let r = BigInt(2e9);
  while (l < r) {
    const mid = (l + r) >> 1n;
    const count =
      mid / BigInt(a) +
      mid / BigInt(b) +
      mid / BigInt(c) -
      mid / ab -
      mid / bc -
      mid / ac +
      mid / abc;
    if (count >= BigInt(n)) {
      r = mid;
    } else {
      l = mid + 1n;
    }
  }
  return Number(l);
}

function gcd(a: bigint, b: bigint): bigint {
  return b === 0n ? a : gcd(b, a % b);
}

function lcm(a: bigint, b: bigint): bigint {
  return (a * b) / gcd(a, b);
}