Question

2972. 统计移除递增子数组的数目 II

English Version

题目描述

给你一个下标从 0 开始的 正 整数数组 nums 。

如果 nums 的一个子数组满足：移除这个子数组后剩余元素 严格递增 ，那么我们称这个子数组为 移除递增 子数组。比方说，[5, 3, 4, 6, 7] 中的 [3, 4] 是一个移除递增子数组，因为移除该子数组后，[5, 3, 4, 6, 7] 变为 [5, 6, 7] ，是严格递增的。

请你返回 nums 中 移除递增 子数组的总数目。

注意 ，剩余元素为空的数组也视为是递增的。

子数组 指的是一个数组中一段连续的元素序列。

 

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4]
输出：10
解释：10 个移除递增子数组分别为：[1], [2], [3], [4], [1,2], [2,3], [3,4], [1,2,3], [2,3,4] 和 [1,2,3,4]。移除任意一个子数组后，剩余元素都是递增的。注意，空数组不是移除递增子数组。

示例 2：

输入：nums = [6,5,7,8]
输出：7
解释：7 个移除递增子数组分别为：[5], [6], [5,7], [6,5], [5,7,8], [6,5,7] 和 [6,5,7,8] 。
nums 中只有这 7 个移除递增子数组。

示例 3：

输入：nums = [8,7,6,6]
输出：3
解释：3 个移除递增子数组分别为：[8,7,6], [7,6,6] 和 [8,7,6,6] 。注意 [8,7] 不是移除递增子数组因为移除 [8,7] 后 nums 变为 [6,6] ，它不是严格递增的。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 109

解法

方法一：双指针

根据题目描述，移除一个子数组后，剩余元素严格递增，那么存在以下几种情况：

1. 剩余元素仅包含数组 $nums$ 的前缀（可以为空）；
2. 剩余元素仅包含数组 $nums$ 的后缀；
3. 剩余元素包含数组 $nums$ 的前缀和后缀。

其中第 $2$ 和第 $3$ 种情况可以合并为一种情况，即剩余元素包含数组 $nums$ 的后缀。即一共有以下两种情况：

1. 剩余元素仅包含数组 $nums$ 的前缀（可以为空）；
2. 剩余元素包含数组 $nums$ 的后缀。

我们先考虑第一种情况，即剩余元素仅包含数组 $nums$ 的前缀。我们可以用一个指针 $i$ 指向数组 $nums$ 的最长递增前缀的最后一个元素，即 $nums[0] \lt nums[1] \lt \cdots \lt nums[i]$，那么剩余元素的个数为 $n - i - 1$，其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度。因此，对于这种情况，要使得剩余元素严格递增，我们可以选择移除以下子数组：

1. $nums[i+1,…,n-1]$；
2. $nums[i,…,n-1]$；
3. $nums[i-1,…,n-1]$；
4. $nums[i-2,…,n-1]$；
5. $\cdots$；
6. $nums[0,…,n-1]$。

这一共有 $i + 2$ 种情况，因此对于这种情况，移除递增子数组的数目为 $i + 2$。

再考虑第二种情况，即剩余元素包含数组 $nums$ 的后缀。我们可以用一个指针 $j$ 指向数组 $nums$ 的递增后缀的第一个元素，我们在 $[n - 1,…,1]$ 的范围内枚举 $j$ 作为递增后缀的第一个元素，每一次，我们需要移动指针 $i$ 使得 $nums[i] \lt nums[j]$，那么移除递增子数组的数组增加 $i + 2$。当 $nums[j - 1] \ge nums[j]$ 时，我们停止枚举，因为此时后缀不是严格递增。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。空间复杂度 $O(1)$。

class Solution:
  def incremovableSubarrayCount(self, nums: List[int]) -> int:
    i, n = 0, len(nums)
    while i + 1 < n and nums[i] < nums[i + 1]:
      i += 1
    if i == n - 1:
      return n * (n + 1) // 2
    ans = i + 2
    j = n - 1
    while j:
      while i >= 0 and nums[i] >= nums[j]:
        i -= 1
      ans += i + 2
      if nums[j - 1] >= nums[j]:
        break
      j -= 1
    return ans

class Solution {
  public long incremovableSubarrayCount(int[] nums) {
    int i = 0, n = nums.length;
    while (i + 1 < n && nums[i] < nums[i + 1]) {
      ++i;
    }
    if (i == n - 1) {
      return n * (n + 1L) / 2;
    }
    long ans = i + 2;
    for (int j = n - 1; j > 0; --j) {
      while (i >= 0 && nums[i] >= nums[j]) {
        --i;
      }
      ans += i + 2;
      if (nums[j - 1] >= nums[j]) {
        break;
      }
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  long long incremovableSubarrayCount(vector<int>& nums) {
    int i = 0, n = nums.size();
    while (i + 1 < n && nums[i] < nums[i + 1]) {
      ++i;
    }
    if (i == n - 1) {
      return n * (n + 1LL) / 2;
    }
    long long ans = i + 2;
    for (int j = n - 1; j > 0; --j) {
      while (i >= 0 && nums[i] >= nums[j]) {
        --i;
      }
      ans += i + 2;
      if (nums[j - 1] >= nums[j]) {
        break;
      }
    }
    return ans;
  }
};

func incremovableSubarrayCount(nums []int) int64 {
  i, n := 0, len(nums)
  for i+1 < n && nums[i] < nums[i+1] {
    i++
  }
  if i == n-1 {
    return int64(n * (n + 1) / 2)
  }
  ans := int64(i + 2)
  for j := n - 1; j > 0; j-- {
    for i >= 0 && nums[i] >= nums[j] {
      i--
    }
    ans += int64(i + 2)
    if nums[j-1] >= nums[j] {
      break
    }
  }
  return ans
}

function incremovableSubarrayCount(nums: number[]): number {
  const n = nums.length;
  let i = 0;
  while (i + 1 < n && nums[i] < nums[i + 1]) {
    i++;
  }
  if (i === n - 1) {
    return (n * (n + 1)) / 2;
  }
  let ans = i + 2;
  for (let j = n - 1; j; --j) {
    while (i >= 0 && nums[i] >= nums[j]) {
      --i;
    }
    ans += i + 2;
    if (nums[j - 1] >= nums[j]) {
      break;
    }
  }
  return ans;
}