Question

1. 时间序列的移动窗口上的各种统计函数是一种常见的操作。这一类函数我们称作移动窗口函数

   • 与其他统计函数一样，移动窗口函数也排除了NA值

   • 所谓移动窗口，就是两层含义：

     • 窗口：统计函数作用的对象为该窗口内的数值
     • 移动：该窗口是移动的，每个窗口对应一个统计量 。最终生成一个统计量序列

2. 计算移动窗口的平均值：

   
   xxxxxxxxxx
     Series/DataFrame.rolling(window, min_periods=None, freq=None, center=False, 
     win_type=None, on=None, axis=0)

   • window：一个整数或者一个offset。如果是个整数，则给出了窗口的大小（窗口大小是固定的）。如果是个offset，则每个窗口对应一个时间段，因此窗口大小不固定。
   • min_periods：一个整数。给出了窗口内有效值的数量。
   • freq：一个字符串或者DateOffset对象，该参数被废弃。它用于对数据重采样，因为我们一般使用resample()来完成，所以该参数被废弃。
   • center：一个布尔值。如果为True，则聚合结果的label为窗口的中心点的索引。默认情况下，聚合结果的label为窗口的最右点的索引。（因为一个聚合结果对应了 window个数据，因此该聚合结果可选的索引可以从这些数据的索引中选取）
   • win_type：一个字符串，给出了窗口类型
   • on：一个字符串。对于DataFrame，它指定在哪一column上进行移动平均。否则是index
   • axis：一个整数。指定沿着0轴还是1轴移动平均。如果为0/'index'则沿着0轴；如果为1/'columns'则沿着0轴

   窗口类型可以为：

   • 'boxcar'
   • 'triang'
     
   • 'blackman'
   • 'hamming'
     
   • 'bartlett'
     
   • 'parzen'
   • 'bohman'
     
   • 'blackmanharris'
     
   • 'nuttall'
     
   • 'barthann'
     
   • 'kaiser'（需要beta参数），该参数由后面的.mean()等方法给出
   • 'guassian'（需要std参数），该参数由后面的.mean()等方法给出
   • 'general_gaussian'（需要power,width参数），该参数由后面的.mean()等方法给出
   • 'slepian'（需要width参数），该参数由后面的.mean()等方法给出

   该方法返回一个Window对象，你可以在该对象上调用.mean()/.sum()/.agg()/.aggregate()等方法。

   

3. 计算移动窗口的指数加权平均值：

   
   xxxxxxxxxx
     Series/DataFrame.ewm(com=None, span=None, halflife=None, alpha=None, min_periods=0, 
     freq=None, adjust=True, ignore_na=False, axis=0) 

   • com：一个浮点数，以center of mass的方式给出了衰减因子。 $ MathJax-Element-18 $
   • span：一个浮点数，以span的方式给出了衰减因子。 $ MathJax-Element-19 $
   • halflife：一个浮点数，以halflife的方式给出了衰减因子： $ MathJax-Element-20 $
   • alpha：一个浮点数，为光滑因子。这种方式直接给出了 $ MathJax-Element-25 $ ，要求 $ MathJax-Element-22 $
   • min_periods:一个整数。给出了窗口内有效值的数量。
   • adjust：一个布尔值。见下面的解释。
   • ignore_na：一个布尔值，如果为True，则计算权重时，忽略缺失值。

   加权移动平均的计算公式为：

   $ y_t = \frac{\sum_{i=0}^{t} w_i x_{t-i}}{\sum_{i=0}^t w_i} $

   其中 $ MathJax-Element-23 $ 为输入值。

   • 当adjust=True时， $ MathJax-Element-24 $ ，此时：
   $ y_t = \frac{x_t + (1 - \alpha)x_{t-1} + (1 - \alpha)^{2} x_{t-2} + \cdots + (1 - \alpha)^{t} x_{0}}{1 + (1 - \alpha) + (1 - \alpha)^{2} + ... + (1 - \alpha)^{t}}\\ =\frac{x_t + (1 - \alpha)x_{t-1} + (1 - \alpha)^{2} x_{t-2} + \cdots + (1 - \alpha)^{t} x_{0}}{1-(1-\alpha)^{t+1}}\alpha $
   • 当adjust=False时
   $ y_0= x_0 \\ y_t = (1 - \alpha) y_{t-1} + \alpha x_t $

   它等价于

   $ w_i = \begin{cases} \alpha (1 - \alpha)^{i} & \text{if } i < t \\ (1 - \alpha)^{i} & \text{if } i = t \end{cases} $

   上式中的 $ MathJax-Element-25 $ 有四种方式，其中最简单的就是直接设置 alpha参数。剩下的三种就是间接给出：

   $ \alpha = \begin{cases} \frac{2}{s + 1}, & \text{for span}\ s \geq 1\\ \frac{1}{1 + c}, & \text{for center of mass}\ c \geq 0\\ 1 - \exp(\frac{\log 0.5}{h}), & \text{for half-life}\ h > 0 \end{cases} $

   该函数返回的是一个EWM对象。其统计方法有：

   • mean()：指数加权移动平均的均值
   • var()：指数加权移动平均的方差
   • std()：指数加权移动平均的标准差
   • corr()：指数加权移动平均的相关系数
   • cov()：指数加权移动平均的协方差

   

4. 拓展窗口是rolling窗口的特殊情况：当窗口大小等于序列长度。另外expanding窗口中，如果数据有空缺，则剔除空缺值再计算。

   
   xxxxxxxxxx
     DataFrame/Series.expanding(min_periods=1, freq=None, center=False, axis=0) 

   • min_periods：一个整数。给出了窗口内有效值的数量。
   • freq：一个字符串或者DateOffset对象，该参数被废弃。它用于对数据重采样，因为我们一般使用resample()来完成，所以该参数被废弃。
   • center：一个布尔值。如果为True，则label为窗口的中心的值。默认情况下，label为窗口的右侧的值。
   • axis：一个整数。指定沿着0轴还是1轴移动平均。如果为0/'index'则沿着0轴；如果为1/'columns'则沿着0轴

   它返回一个Expanding对象。

   它的统计方法如下：

   • count() ：有效值数量
   • sum() ：和
   • mean() ：均值
   • median() ：中位数
   • min() ：最小值
   • max() ：最大值
   • std() ：标准差
   • var() ：方差
   • skew() ：斜度
   • kurt() ：峰度
   • quantile() ：百分位数
   • apply() ：通用处理函数。其参数为一个可调用对象，该可调用对象接受一个序列，返回一个标量。
   • cov() ：协方差
   • corr() ：相关系数

   

   在Center中，2016-11-01为中心的话，它右侧有4个数据，左侧理论上有5个数据（窗口总长为10），而左侧为空，因此第一个窗口就是前 5 个数据的统计量。