Question

793. 阶乘函数后 K 个零

English Version

题目描述

 f(x) 是 x! 末尾是 0 的数量。回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * ... * x，且 0! = 1 。

• 例如， f(3) = 0 ，因为 3! = 6 的末尾没有 0 ；而 f(11) = 2 ，因为 11!= 39916800 末端有 2 个 0 。

给定 k，找出返回能满足 f(x) = k 的非负整数 x 的数量。

 

示例 1：

输入：k = 0
输出：5
解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0 的条件。

示例 2：

输入：k = 5
输出：0
解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5 的条件。

示例 3:

输入: k = 3
输出: 5

 

提示:

• 0 <= k <= 109

解法

方法一：二分查找

定义 $f(x)$ 为 $x!$ 末尾零的个数，那么

$$ f(x)= \begin{cases} 0, x=0\ x/5+f(x/5), x>0 \end{cases} $$

定义 $g(k)$ 表示 $x!$ 末尾为零的个数为 $k$ 的最小的 $x$ 值，那么题目等价于求解 $g(k+1)-g(k)$。

由于 $g(k)$ 是单调递增的，因此可以使用二分查找求解 $g(k)$。

同时，由于 $f(x)=x/5+f(x/5) \ge x/5$，因此 $f(5k)\ge k$。所以，求解 $g(k)$ 时，二分的右边界可以取 $5k$。

时间复杂度 $O(log^2k)$，其中 $k$ 为题目给定的整数。二分查找 $g(k)$ 的时间复杂度为 $O(logk)$，计算 $f(x)$ 的时间复杂度为 $O(logx)$，因此总时间复杂度为 $O(log^2k)$。

class Solution:
  def preimageSizeFZF(self, k: int) -> int:
    def f(x):
      if x == 0:
        return 0
      return x // 5 + f(x // 5)

    def g(k):
      return bisect_left(range(5 * k), k, key=f)

    return g(k + 1) - g(k)

class Solution {
  public int preimageSizeFZF(int k) {
    return g(k + 1) - g(k);
  }

  private int g(int k) {
    long left = 0, right = 5 * k;
    while (left < right) {
      long mid = (left + right) >> 1;
      if (f(mid) >= k) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return (int) left;
  }

  private int f(long x) {
    if (x == 0) {
      return 0;
    }
    return (int) (x / 5) + f(x / 5);
  }
}

class Solution {
public:
  int preimageSizeFZF(int k) {
    return g(k + 1) - g(k);
  }

  int g(int k) {
    long long left = 0, right = 1ll * 5 * k;
    while (left < right) {
      long long mid = (left + right) >> 1;
      if (f(mid) >= k) {
        right = mid;
      } else {
        left = mid + 1;
      }
    }
    return (int) left;
  }

  int f(long x) {
    int res = 0;
    while (x) {
      x /= 5;
      res += x;
    }
    return res;
  }
};

func preimageSizeFZF(k int) int {
  f := func(x int) int {
    res := 0
    for x != 0 {
      x /= 5
      res += x
    }
    return res
  }

  g := func(k int) int {
    left, right := 0, k*5
    for left < right {
      mid := (left + right) >> 1
      if f(mid) >= k {
        right = mid
      } else {
        left = mid + 1
      }
    }
    return left
  }

  return g(k+1) - g(k)
}