Question

对于一个方阵 A ∈R^n×n，如果：

我们说λ∈C 是 A 的 特征值 ，x∈Cⁿ是对应的 特征向量 .

直观上看，其实上面的式子说的就是 A 乘一个向量 x，得到的新的向量指向和 x 相同的方向，但是须乘一个标量λ。注意对任一个特征向量 x∈Cⁿ和标量 t∈C，A(cx) = cAx = cλx = λ(cx),，所以 cx 也是一个特征向量。因此，我们要说λ所对应的特征向量。我们通常假设特征向量被标准化为长度 1。(此时依然有歧义，因为 x 和-x 都可以是特征向量，但是我们也没什么办法)。

如果

我们可以把上文的等式换一种写法，表明(λ,x) 是 A 的一个特征值-特征向量对。

但是当且仅当有非空零空间时，也就是当(λI ? A) 非奇异时，亦即

时，(λI ? A)x = 0 有 x 的非零解。

我们现在可以用前文的行列式的定义，来把这个表达式展开为一个（非常大的) λ的多项式，其中λ的最高阶为 n。我们可以解出多项式的 n 个根（这可能十分复杂)，来得到 n 个特征值λ₁, ...，λ_n。 为了解出特征值对应的特征向量，我们可以简单地求线性等式(λ_iI ? A)x = 0 的解。需要注意，实际操作时，计算特征值和特征向量不用这个方法。(行列式的完全展开式有 n!项）。这只是一个数学论证。

下面是特征值和特征向量的性质（假设 A∈ R^n×n，且特征值λ₁,...，λ_n对应的特征向量为 x₁,...，x_n）:

• 矩阵 A 的迹等于特征值的和

• A 的行列式等于特征值的积

• A 的秩等于 A 的非零特征值的个数。
• 如果 A 是非奇异矩阵，则 1/λ_i是矩阵 A^-1对应于特征向量 x_i的特征值。亦即，A^?1x_i = (1/λ_i)x_i。（证明方法是，对于特征向量等式，Ax_i = λ_ix_i，在两边同时左乘 A^-1）
• 对角矩阵 D=diag(d₁, . . . ，d_n) 的特征值是所有的对角元素。

我们可以把所有的特征向量等式联立为

X ∈R^n×n 的列是 A 的特征向量，∧是对角元素为 A 的特征值的对角矩阵。亦即：

如果 A 的特征向量线性无关，则矩阵 X 可逆，所以 A=X∧X^-1。可以写成这个形式的矩阵 A 被称作 可对角化 。