Question

788. 旋转数字

English Version

题目描述

我们称一个数 X 为好数, 如果它的每位数字逐个地被旋转 180 度后，我们仍可以得到一个有效的，且和 X 不同的数。要求每位数字都要被旋转。

如果一个数的每位数字被旋转以后仍然还是一个数字， 则这个数是有效的。0, 1, 和 8 被旋转后仍然是它们自己；2 和 5 可以互相旋转成对方（在这种情况下，它们以不同的方向旋转，换句话说，2 和 5 互为镜像）；6 和 9 同理，除了这些以外其他的数字旋转以后都不再是有效的数字。

现在我们有一个正整数 N, 计算从 1 到 N 中有多少个数 X 是好数？

 

示例：

输入: 10
输出: 4
解释: 
在[1, 10]中有四个好数： 2, 5, 6, 9。
注意 1 和 10 不是好数, 因为他们在旋转之后不变。

 

提示：

• N 的取值范围是 [1, 10000]。

解法

方法一：直接枚举

一种直观且有效的思路是，直接枚举 $[1,2,..n]$ 中的每个数，判断其是否为好数，若为好数，则答案加一。

那么题目的重点转化为如何判断一个数字 $x$ 是否为好数。判断的逻辑如下：

我们先用一个长度为 $10$ 的数组 $d$ 记录每个有效数字对应的旋转数字，在这道题中，有效数字有 $[0, 1, 8, 2, 5, 6, 9]$，分别对应旋转数字 $[0, 1, 8, 5, 2, 9, 6]$。如果不是有效数字，我们将对应的旋转数字设为 $-1$。

然后遍历数字 $x$ 的每一位数字 $v$，如果 $v$ 不是有效数字，说明 $x$ 不是好数，直接返回 false。否则，我们将数字 $v$ 对应的旋转数字 $d[v]$ 加入到 $y$ 中。最后，判断 $x$ 和 $y$ 是否相等，若不相等，则说明 $x$ 是好数，返回 true。

时间复杂度 $O(n\times \log n)$。

相似题目：

• 1056. 易混淆数

class Solution:
  def rotatedDigits(self, n: int) -> int:
    def check(x):
      y, t = 0, x
      k = 1
      while t:
        v = t % 10
        if d[v] == -1:
          return False
        y = d[v] * k + y
        k *= 10
        t //= 10
      return x != y

    d = [0, 1, 5, -1, -1, 2, 9, -1, 8, 6]
    return sum(check(i) for i in range(1, n + 1))

class Solution {
  private int[] d = new int[] {0, 1, 5, -1, -1, 2, 9, -1, 8, 6};

  public int rotatedDigits(int n) {
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      if (check(i)) {
        ++ans;
      }
    }
    return ans;
  }

  private boolean check(int x) {
    int y = 0, t = x;
    int k = 1;
    while (t > 0) {
      int v = t % 10;
      if (d[v] == -1) {
        return false;
      }
      y = d[v] * k + y;
      k *= 10;
      t /= 10;
    }
    return x != y;
  }
}

class Solution {
public:
  const vector<int> d = {0, 1, 5, -1, -1, 2, 9, -1, 8, 6};

  int rotatedDigits(int n) {
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
      ans += check(i);
    }
    return ans;
  }

  bool check(int x) {
    int y = 0, t = x;
    int k = 1;
    while (t) {
      int v = t % 10;
      if (d[v] == -1) {
        return false;
      }
      y = d[v] * k + y;
      k *= 10;
      t /= 10;
    }
    return x != y;
  }
};

func rotatedDigits(n int) int {
  d := []int{0, 1, 5, -1, -1, 2, 9, -1, 8, 6}
  check := func(x int) bool {
    y, t := 0, x
    k := 1
    for ; t > 0; t /= 10 {
      v := t % 10
      if d[v] == -1 {
        return false
      }
      y = d[v]*k + y
      k *= 10
    }
    return x != y
  }
  ans := 0
  for i := 1; i <= n; i++ {
    if check(i) {
      ans++
    }
  }
  return ans
}

方法二：数位 DP

方法一的做法足以通过本题，但时间复杂度较高。如果题目的数据范围达到 $10^9$ 级别，则方法一的做法会超出时间限制。

这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，满足条件的数的个数。条件与数的大小无关，而只与数的组成有关，因此可以使用数位 DP 的思想求解。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。

对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：

$$ ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i $$

不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[1,..r]$ 的值即可。

这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。

基本步骤如下：

1. 将数字 $n$ 转为 int 数组 $a$，其中 $a[1]$ 为最低位，而 $a[len]$ 为最高位；
2. 根据题目信息，设计函数 $dfs()$，对于本题，我们定义 $dfs(pos, ok, limit)$，答案为 $dfs(len, 0, true)$。

其中：

• pos 表示数字的位数，从末位或者第一位开始，一般根据题目的数字构造性质来选择顺序。对于本题，我们选择从高位开始，因此，pos 的初始值为 len；
• ok 表示当前数字是否满足题目要求（对于本题，如果数字出现 $[2, 5, 6, 9]$ 则满足）
• limit 表示可填的数字的限制，如果无限制，那么可以选择 $[0,1,..9]$，否则，只能选择 $[0,..a[pos]]$。如果 limit 为 true 且已经取到了能取到的最大值，那么下一个 limit 同样为 true；如果 limit 为 true 但是还没有取到最大值，或者 limit 为 false，那么下一个 limit 为 false。

关于函数的实现细节，可以参考下面的代码。

时间复杂度 $O(\log n)$。

相似题目：

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• 902. 最大为 N 的数字组合
• 1012. 至少有 1 位重复的数字
• 2376. 统计特殊整数

class Solution:
  def rotatedDigits(self, n: int) -> int:
    @cache
    def dfs(pos, ok, limit):
      if pos <= 0:
        return ok
      up = a[pos] if limit else 9
      ans = 0
      for i in range(up + 1):
        if i in (0, 1, 8):
          ans += dfs(pos - 1, ok, limit and i == up)
        if i in (2, 5, 6, 9):
          ans += dfs(pos - 1, 1, limit and i == up)
      return ans

    a = [0] * 6
    l = 1
    while n:
      a[l] = n % 10
      n //= 10
      l += 1
    return dfs(l, 0, True)

class Solution {
  private int[] a = new int[6];
  private int[][] dp = new int[6][2];

  public int rotatedDigits(int n) {
    int len = 0;
    for (var e : dp) {
      Arrays.fill(e, -1);
    }
    while (n > 0) {
      a[++len] = n % 10;
      n /= 10;
    }
    return dfs(len, 0, true);
  }

  private int dfs(int pos, int ok, boolean limit) {
    if (pos <= 0) {
      return ok;
    }
    if (!limit && dp[pos][ok] != -1) {
      return dp[pos][ok];
    }
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if (i == 0 || i == 1 || i == 8) {
        ans += dfs(pos - 1, ok, limit && i == up);
      }
      if (i == 2 || i == 5 || i == 6 || i == 9) {
        ans += dfs(pos - 1, 1, limit && i == up);
      }
    }
    if (!limit) {
      dp[pos][ok] = ans;
    }
    return ans;
  }
}

class Solution {
public:
  int a[6];
  int dp[6][2];

  int rotatedDigits(int n) {
    memset(dp, -1, sizeof dp);
    int len = 0;
    while (n) {
      a[++len] = n % 10;
      n /= 10;
    }
    return dfs(len, 0, true);
  }

  int dfs(int pos, int ok, bool limit) {
    if (pos <= 0) {
      return ok;
    }
    if (!limit && dp[pos][ok] != -1) {
      return dp[pos][ok];
    }
    int up = limit ? a[pos] : 9;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= up; ++i) {
      if (i == 0 || i == 1 || i == 8) {
        ans += dfs(pos - 1, ok, limit && i == up);
      }
      if (i == 2 || i == 5 || i == 6 || i == 9) {
        ans += dfs(pos - 1, 1, limit && i == up);
      }
    }
    if (!limit) {
      dp[pos][ok] = ans;
    }
    return ans;
  }
};

func rotatedDigits(n int) int {
  a := make([]int, 6)
  dp := make([][2]int, 6)
  for i := range a {
    dp[i] = [2]int{-1, -1}
  }
  l := 0
  for n > 0 {
    l++
    a[l] = n % 10
    n /= 10
  }

  var dfs func(int, int, bool) int
  dfs = func(pos, ok int, limit bool) int {
    if pos <= 0 {
      return ok
    }
    if !limit && dp[pos][ok] != -1 {
      return dp[pos][ok]
    }
    up := 9
    if limit {
      up = a[pos]
    }
    ans := 0
    for i := 0; i <= up; i++ {
      if i == 0 || i == 1 || i == 8 {
        ans += dfs(pos-1, ok, limit && i == up)
      }
      if i == 2 || i == 5 || i == 6 || i == 9 {
        ans += dfs(pos-1, 1, limit && i == up)
      }
    }
    if !limit {
      dp[pos][ok] = ans
    }
    return ans
  }

  return dfs(l, 0, true)
}