Question

337. 打家劫舍 III

English Version

题目描述

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为

 root 。

除了

 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

给定二叉树的 root 。返回 _在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额_ 。

 

示例 1:

输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7 
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7

示例 2:

输入: root = [3,4,5,1,3,null,1]
输出: 9
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9

 

提示：

• 树的节点数在 [1, 104] 范围内
• 0 <= Node.val <= 104

解法

方法一：树形 DP

我们定义一个函数 $dfs(root)$，表示偷取以 $root$ 为根的二叉树的最大金额。该函数返回一个二元组 $(a, b)$，其中 $a$ 表示偷取 $root$ 节点时能得到的最大金额，而 $b$ 表示不偷取 $root$ 节点时能得到的最大金额。

函数 $dfs(root)$ 的计算过程如下：

如果 $root$ 为空，那么显然有 $dfs(root) = (0, 0)$。

否则，我们首先计算出左右子节点的结果，即 $dfs(root.left)$ 和 $dfs(root.right)$，这样就得到了两对值 $(l_a, l_b)$ 以及 $(r_a, r_b)$。对于 $dfs(root)$ 的结果，我们可以分为两种情况：

• 如果偷取 $root$ 节点，那么不能偷取其左右子节点，结果为 $root.val + l_b + r_b$；
• 如果不偷取 $root$ 节点，那么可以偷取其左右子节点，结果为 $\max(l_a, l_b) + \max(r_a, r_b)$。

在主函数中，我们可以直接返回 $dfs(root)$ 的较大值，即 $\max(dfs(root))$。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 是二叉树的节点数。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#   def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#     self.val = val
#     self.left = left
#     self.right = right
class Solution:
  def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
    def dfs(root: Optional[TreeNode]) -> (int, int):
      if root is None:
        return 0, 0
      la, lb = dfs(root.left)
      ra, rb = dfs(root.right)
      return root.val + lb + rb, max(la, lb) + max(ra, rb)

    return max(dfs(root))

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *   int val;
 *   TreeNode left;
 *   TreeNode right;
 *   TreeNode() {}
 *   TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *   TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *     this.val = val;
 *     this.left = left;
 *     this.right = right;
 *   }
 * }
 */
class Solution {
  public int rob(TreeNode root) {
    int[] ans = dfs(root);
    return Math.max(ans[0], ans[1]);
  }

  private int[] dfs(TreeNode root) {
    if (root == null) {
      return new int[2];
    }
    int[] l = dfs(root.left);
    int[] r = dfs(root.right);
    return new int[] {root.val + l[1] + r[1], Math.max(l[0], l[1]) + Math.max(r[0], r[1])};
  }
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *   int val;
 *   TreeNode *left;
 *   TreeNode *right;
 *   TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *   TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *   TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
  int rob(TreeNode* root) {
    function<pair<int, int>(TreeNode*)> dfs = [&](TreeNode* root) -> pair<int, int> {
      if (!root) {
        return make_pair(0, 0);
      }
      auto [la, lb] = dfs(root->left);
      auto [ra, rb] = dfs(root->right);
      return make_pair(root->val + lb + rb, max(la, lb) + max(ra, rb));
    };
    auto [a, b] = dfs(root);
    return max(a, b);
  }
};

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * type TreeNode struct {
 *   Val int
 *   Left *TreeNode
 *   Right *TreeNode
 * }
 */
func rob(root *TreeNode) int {
  var dfs func(*TreeNode) (int, int)
  dfs = func(root *TreeNode) (int, int) {
    if root == nil {
      return 0, 0
    }
    la, lb := dfs(root.Left)
    ra, rb := dfs(root.Right)
    return root.Val + lb + rb, max(la, lb) + max(ra, rb)
  }
  a, b := dfs(root)
  return max(a, b)
}

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * class TreeNode {
 *   val: number
 *   left: TreeNode | null
 *   right: TreeNode | null
 *   constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
 *     this.val = (val===undefined ? 0 : val)
 *     this.left = (left===undefined ? null : left)
 *     this.right = (right===undefined ? null : right)
 *   }
 * }
 */

function rob(root: TreeNode | null): number {
  const dfs = (root: TreeNode | null): [number, number] => {
    if (!root) {
      return [0, 0];
    }
    const [la, lb] = dfs(root.left);
    const [ra, rb] = dfs(root.right);
    return [root.val + lb + rb, Math.max(la, lb) + Math.max(ra, rb)];
  };
  return Math.max(...dfs(root));
}