Question

矩阵乘法是矩阵运算中最重要的操作之一。两个矩阵A和B的矩阵乘积（matrix product）是第三个矩阵C。为了使乘法可被定义，矩阵A的列数必须和矩阵B的行数相等。如果矩阵A的形状是m×n，矩阵B的形状是n×p，那么矩阵C的形状是m×p。我们可以通过将两个或多个矩阵并列放置以书写矩阵乘法，例如

具体地，该乘法操作定义为

需要注意的是，两个矩阵的标准乘积不是指两个矩阵中对应元素的乘积。不过，那样的矩阵操作确实是存在的，称为元素对应乘积（element-wise product）或者Hadamard乘积（Hadamard product），记为。

两个相同维数的向量x和y的点积（dot product）可看作矩阵乘积。我们可以把矩阵乘积C=AB中计算C_i,j的步骤看作A的第i行和B的第j列之间的点积。

矩阵乘积运算有许多有用的性质，从而使矩阵的数学分析更加方便。比如，矩阵乘积服从分配律：

矩阵乘积也服从结合律：

不同于标量乘积，矩阵乘积并不满足交换律（AB=BA的情况并非总是满足）。然而，两个向量的点积满足交换律：

矩阵乘积的转置有着简单的形式：

利用两个向量点积的结果是标量、标量转置是自身的事实，我们可以证明式（2.8）：

由于本书的重点不是线性代数，我们并不想展示矩阵乘积的所有重要性质，但读者应该知道矩阵乘积还有很多有用的性质。

现在我们已经知道了足够多的线性代数符号，可以表达下列线性方程组：

其中是一个已知矩阵，是一个已知向量，是一个我们要求解的未知向量。向量x的每一个元素x_i都是未知的。矩阵A的每一行和b中对应的元素构成一个约束。我们可以把式（2.11）重写为

或者，更明确地，写作

矩阵向量乘积符号为这种形式的方程提供了更紧凑的表示。