Question

方阵 A ∈ R ^{n × n} 的 迹 ，记作 tr( A )，或可以省略括号表示成 tr A， 是矩阵的对角线元素之和:

正如 cs229 讲义中所述，矩阵的迹具有以下性质（在此讲述完全是为了内容的完整性）：

• 对于 A ∈ R ^{n × n} ， tr A = tr A^T .
• 对于 A，B ∈ R ^{n × n} ， tr( A + B ) = tr A + tr B .
• 对于 A ∈ R ^{n × n} ， t ∈ R， tr( tA ) = t tr A .
• 对于方阵 A,B,C ，tr ABC = tr BCA = tr CAB ，即使有更多的矩阵相乘，这个性质也不变。

前三个性质比较容易证明，咱们一起来看看第 4 个性质。假设 A ∈ R ^{m × n} ， B ∈ R ^{n × m} (因此 AB ∈ R ^{m × m} 是个方阵)。观察到 BA ∈ R ^{n × n} 也是一个方阵，所以他的迹是有意义的。为了证明 tr AB = tr BA ，注意到：

在这里，第一个和最后两个等式使用了迹运算和矩阵乘法的定义。第四个等式是最重要的部分，它使用了标量乘法的交换性来交换每个乘积中因式顺序，也使用了标量加法的交换律和结合律将求和过程重新排序。