Question

（1）Logistic函数

Logistic回归模型中的因变量的只有1-0（如是和否、发生和不发生）两种取值。假设在p个独立自变量x₁，x₂，…，x_p作用下，记y取1的概率是p=P（y=1|X），取0概率是1-p，取1和取0的概率之比为p/（1-p），称为事件的优势比（odds），对odds取自然对数即得Logistic变换Logit（p）=ln[p/（1-p）]。

令Logit（p）=ln[p/（1-p）]=z，则p=1/（1+e^-z）即为Logistic函数，如图5-3所示。

图5-3　Logistic函数

当p在（0，1）之间变化时，odds的取值范围是（0，+∞），则ln[p/（1-p）]的取值范围是（-∞，+∞）。

（2）Logistic回归模型

Logistic回归模型是建立ln[p/（1-p）]与自变量的线性回归模型。

Logistic回归模型为：

因为ln[p/（1-p）]的取值范围是（-∞，+∞），这样，自变量x₁，x₂，…，x_p可在任意范围内取值。

记g（x）＝β₀＋β₁x₁＋…＋β_px_p，得到：

（3）Logistic回归模型解释

β₀：在没有自变量，即x₁，x₂，…，x_p全部取0，y＝1与y＝0发生概率之比的自然对数；

β_i：某自变量x_i变化时，即x_i＝1与x_i＝0相比，y＝1优势比的对数值。