Question

向量的 范数 是向量"长度"的非正式度量。例如，我们常用的欧氏或?2 范数。

注意 .

更正式的来讲，范数是满足以下 4 个特性的任何一个方程 f : R ⁿ → R:

1. 对于任意 x ∈ Rⁿ， f(x) ≥ 0 (非负性).
2. 当且仅当 x = 0 时，f(x) = 0(确定性).
3. 对于任意 x ∈ Rⁿ，t∈ R，f(tx) = |t|f(x) (均匀性).
4. 对于任意 x，y∈Rⁿ，f(x + y)≤f( x ) + f ( y ) (三角不等性).

另一个范数的例子是 ? ₁范数，

以及 ? _∞范数，

事实上，这三个范数都是?_P范数家族的的例子，它包含一个实参数 p≥1。?_P范数定义为：

.

也可以定义矩阵 A 的范数，如 Frobenius 范数，

.

也存在许多其他的范数，但它们超出了这篇综述讨论的范围。