Question

In [1]:

import theano, time
import theano.tensor as T
import numpy as np

def floatX(X):
    return np.asarray(X, dtype=theano.config.floatX)

Using gpu device 1: Tesla C2075 (CNMeM is disabled)

theano 中可以使用 scan 进行循环，常用的 map 和 reduce 操作都可以看成是 scan 的特例。

scan 通常作用在一个序列上，每次处理一个输入，并输出一个结果。

sum(x) 函数可以看成是 z + x(i) 函数在给定 z = 0 的情况下，对 x 的一个 scan。

通常我们可以将一个 for 循环表示成一个 scan 操作，其好处如下：

• 迭代次数成为符号图结构的一部分
• 最小化 GPU 数据传递
• 序列化梯度计算
• 速度比 for 稍微快一些
• 降低内存使用

scan 的使用

函数的用法如下：

theano.scan(fn, 
            sequences=None, 
            outputs_info=None, 
            non_sequences=None, 
            n_steps=None, 
            truncate_gradient=-1, 
            go_backwards=False, 
            mode=None, 
            name=None, 
            profile=False, 
            allow_gc=None, 
            strict=False)

主要参数的含义：

• fn
  • 一步 scan 所进行的操作
• sequences
  • 输入的序列
• outputs_info
  • 前一步输出结果的初始状态
• non_sequences
  • 非序列参数
• n_steps
  • 迭代步数
• go_backwards
  • 是否从后向前遍历

输出为一个元组 (outputs, updates)：

• outputs
  • 从初始状态开始，每一步 fn 的输出结果
• updates
  • 一个字典，用来记录 scan 过程中用到的共享变量更新规则，构造函数的时候，如果需要更新共享变量，将这个变量当作 updates 的参数传入。

scan 和 map

这里实现一个简单的 map 操作，将向量 $\mathbf x$ 中的所有元素变成原来的两倍：

map(lambda t: t * 2, x)

In [2]:

x = T.vector()

results, _ = theano.scan(fn = lambda t: t * 2,
                         sequences = x)
x_double_scan = theano.function([x], results)

print x_double_scan(range(10))

[  0\.   2\.   4\.   6\.   8\.  10\.  12\.  14\.  16\.  18.]

之前我们说到，theano 中的 map 是 scan 的一个特例，因此 theano.map 的用法其实跟 theano.scan 十分类似。

由于不需要考虑前一步的输出结果，所以 theano.map 的参数中没有 outputs_info 这一部分。

我们用 theano.map 实现相同的效果：

In [3]:

result, _ = theano.map(fn = lambda t: t * 2,
                       sequences = x)
x_double_map = theano.function([x], result)

print x_double_map(range(10))

[  0\.   2\.   4\.   6\.   8\.  10\.  12\.  14\.  16\.  18.]

scan 和 reduce

这里一个简单的 reduce 操作，求和：

reduce(lambda a, b: a + b, x)

In [4]:

result, _ = theano.scan(fn = lambda t, v: t + v,
                        sequences = x,
                        outputs_info = floatX(0.))

# 因为每一步的输出值都会被记录到最后的 result 中，所以最后的和是 result 的最后一个元素。
x_sum_scan = theano.function([x], result[-1])

# 计算 1 + 2 + ... + 10
print x_sum_scan(range(10))

45.0

theano.reduce 也是 scan 的一个特例，使用 theano.reduce 实现相同的效果：

In [5]:

result, _ = theano.reduce(fn = lambda t, v: t + v,
                          sequences = x,
                          outputs_info = 0.)

x_sum_reduce = theano.function([x], result)

# 计算 1 + 2 + ... + 10
print x_sum_reduce(range(10))

45.0

reduce 与 scan 不同的地方在于，result 包含的内容并不是每次输出的结果，而是最后一次输出的结果。

scan 的使用

输入与输出

fn 是一个函数句柄，对于这个函数句柄，它每一步接受的参数是由 sequences, outputs_info, non_sequence 这三个参数所决定的，并且按照以下的顺序排列：

• sequences 中第一个序列的值
• ...
• sequences 中最后一个序列的值
• outputs_info 中第一个输出之前的值
• ...
• outputs_info 中最后一个输出之前的值
• non_squences 中的参数

这些序列的顺序与在参数 sequences, outputs_info 中指定的顺序相同。

默认情况下，在第 k 次迭代时，如果 sequences 和 outputs_info 中给定的值不是字典（dictionary）或者一个字典列表（list of dictionaries），那么

• sequences 中的序列 seq 传入 fn 的是 seq[k] 的值
• outputs_info 中的序列 output 传入 fn 的是 output[k-1] 的值

fn 的返回值有两部分 (outputs_list, update_dictionary)，第一部分将作为序列，传入 outputs 中，与 outputs_info 中的初始输入值的维度一致（如果没有给定 outputs_info ，输出值可以任意。）

第二部分则是更新规则的字典，告诉我们如何对 scan 中使用到的一些共享的变量进行更新：

return [y1_t, y2_t], {x:x+1}

这两部分可以任意，即顺序既可以是 (outputs_list, update_dictionary), 也可以是 (update_dictionary, outputs_list)，theano 会根据类型自动识别。

两部分只需要有一个存在即可，另一个可以为空。

例子分析

例如，在我们的第一个例子中

theano.scan(fn = lambda t: t * 2,
            sequences = x)

在第 k 次迭代的时候，传入参数 t 的值为 x[k]。

再如，在我们的第二个例子中：

theano.scan(fn = lambda t, v: t + v,
            sequences = x,
            outputs_info = floatX(0.))

fn 接受了两个参数，初始迭代时，按照规则，t 接受的参数为 x[0]，v 接受的参数为我们传入 outputs_info 的第一个初始值即 0 （认为是 outputs[-1]），他们的结果 t+v 将作为 outputs[0] 的值传入下一次迭代以及最终 scan 输出的 outputs 值中。

输入多个序列

我们可以一次输入多个序列，这些序列会按照顺序传入 fn 的参数中，例如计算多项式 $$ \sum_{n=0}^N a_n x^ n $$ 时，我们可以将多项式的系数和幂数两个序列放到一个 list 中作为输入参数：

In [6]:

# 变量 x
x = T.scalar("x")

# 不为 0 的系数
A = T.vectors("A")

# 对应的幂数
N = T.ivectors("N")

# a 对应的是 A， n 对应 N，v 对应 x
components, _ = theano.scan(fn = lambda a, n, v: a * (v ** n),
                            sequences = [A, N],
                            non_sequences = x)

result = components.sum()

polynomial = theano.function([x, A, N], result)

# 计算 1 + 3 * 10 ^ 2 + 2 * 10^3 = 2301
print polynomial(floatX(10), 
                 floatX([1, 3, 2]),
                 [0, 2, 3])

2301.0

使用序列的多个值

默认情况下，我们只能使用输入序列的当前时刻的值，以及前一个输出的输出值。

事实上，theano 会将参数中的序列变成一个有 input 和 taps 两个键值的 dict：

• input：输入的序列
• taps：要传入 fn 的值的列表
  • 对于 sequences 参数中的序列来说，默认值为 [0]，表示时间 t 传入 t+0 时刻的序列值，可以为正，可以为负。
  • 对于 outputs_info 参数中的序列来说，默认值为 [-1]，表示时间 t 传入 t-1 时刻的序列值，只能为负值，如果值为 None，表示这个输出结果不会作为参数传入 fn 中。

传入 fn 的参数也会按照 taps 中的顺序来排列，我们考虑下面这个例子：

scan(fn, sequences = [ dict(input= Sequence1, taps = [-3,2,-1])
                     , Sequence2
                     , dict(input =  Sequence3, taps = 3) ]
       , outputs_info = [ dict(initial =  Output1, taps = [-3,-5])
                        , dict(initial = Output2, taps = None)
                        , Output3 ]
       , non_sequences = [ Argument1, Argument2])

首先是 Sequence1 的 [-3, 2, -1] 被传入，然后 Sequence2 不是 dict， 所以传入默认值 [0]，Sequence3 传入的参数是 3，所以 fn 在第 t 步接受的前几个参数是：

Sequence1[t-3]
Sequence1[t+2]
Sequence1[t-1]
Sequence2[t]
Sequence3[t+3]

然后 Output1 传入的是 [-3, -5]（传入的初始值的形状应为 shape (5,)+），Output2 不作为参数传入，Output3 传入的是 [-1]，所以接下的参数是：

Output1[t-3]
Output1[t-5]
Output3[t-1]
Argument1
Argument2

总的说来上面的例子中，fn 函数按照以下顺序最多接受这样 10 个参数：

Sequence1[t-3]
Sequence1[t+2]
Sequence1[t-1]
Sequence2[t]
Sequence3[t+3]
Output1[t-3]
Output1[t-5]
Output3[t-1]
Argument1
Argument2

例子，假设 $x$ 是我们的输入，$y$ 是我们的输出，我们需要计算 $y(t) = tanh\left[W{1} y(t-1) + W{2} x(t) + W_{3} x(t-1)\right]$ 的值：

In [7]:

X = T.matrix("X")
Y = T.vector("y")

W_1 = T.matrix("W_1")
W_2 = T.matrix("W_2")
W_3 = T.matrix("W_3")

# W_yy 和 W_xy 作为不变的参数可以直接使用
results, _ = theano.scan(fn = lambda x, x_pre, y: T.tanh(T.dot(W_1, y) + T.dot(W_2, x) + T.dot(W_3, x_pre)), 
                         # 0 对应 x，-1 对应 x_pre
                         sequences = dict(input=X, taps=[0, -1]), 
                         outputs_info = Y)

Y_seq = theano.function(inputs = [X, Y, W_1, W_2, W_3], 
                        outputs = results)

测试小矩阵计算：

In [8]:

# 测试
t = 1001
x_dim = 10
y_dim = 20

x = 2 * floatX(np.random.random([t, x_dim])) - 1
y = 2 * floatX(np.zeros(y_dim)) - 1
w_1 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, y_dim])) - 1
w_2 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, x_dim])) - 1
w_3 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, x_dim])) - 1

tic = time.time()

y_res_theano = Y_seq(x, y, w_1, w_2, w_3)

print "theano running time {:.4f} s".format(time.time() - tic)

tic = time.time()
# 与 numpy 的结果进行比较：
y_res_numpy = np.zeros([t, y_dim])
y_res_numpy[0] = y

for i in range(1, t):
    y_res_numpy[i] = np.tanh(w_1.dot(y_res_numpy[i-1]) + w_2.dot(x[i]) + w_3.dot(x[i-1]))

print "numpy  running time {:.4f} s".format(time.time() - tic)

# 这里要从 1 开始，因为使用了 x(t-1)，所以 scan 从第 1 个位置开始计算
print "the max difference of the first 10 results is", np.max(np.abs(y_res_theano[0:10] - y_res_numpy[1:11]))

theano running time 0.0537 s
numpy  running time 0.0197 s
the max difference of the first 10 results is 1.25780650354e-06

测试大矩阵运算：

In [9]:

# 测试
t = 1001
x_dim = 100
y_dim = 200

x = 2 * floatX(np.random.random([t, x_dim])) - 1
y = 2 * floatX(np.zeros(y_dim)) - 1
w_1 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, y_dim])) - 1
w_2 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, x_dim])) - 1
w_3 = 2 * floatX(np.random.random([y_dim, x_dim])) - 1

tic = time.time()

y_res_theano = Y_seq(x, y, w_1, w_2, w_3)

print "theano running time {:.4f} s".format(time.time() - tic)

tic = time.time()
# 与 numpy 的结果进行比较：
y_res_numpy = np.zeros([t, y_dim])
y_res_numpy[0] = y

for i in range(1, t):
    y_res_numpy[i] = np.tanh(w_1.dot(y_res_numpy[i-1]) + w_2.dot(x[i]) + w_3.dot(x[i-1]))

print "numpy  running time {:.4f} s".format(time.time() - tic)

# 这里要从 1 开始，因为使用了 x(t-1)，所以 scan 从第 1 个位置开始计算
print "the max difference of the first 10 results is", np.max(np.abs(y_res_theano[:10] - y_res_numpy[1:11]))

theano running time 0.0754 s
numpy  running time 0.1334 s
the max difference of the first 10 results is 0.000656997077348

值得注意的是，由于 theano 和 numpy 在某些计算的实现上存在一定的差异，随着序列长度的增加，这些差异将被放大：

In [10]:

for i in xrange(20):
    print "iter {:03d}, max diff:{:.6f}".format(i + 1, 
                                                np.max(np.abs(y_res_numpy[i + 1,:] - y_res_theano[i,:])))

iter 001, max diff:0.000002
iter 002, max diff:0.000005
iter 003, max diff:0.000007
iter 004, max diff:0.000010
iter 005, max diff:0.000024
iter 006, max diff:0.000049
iter 007, max diff:0.000113
iter 008, max diff:0.000145
iter 009, max diff:0.000334
iter 010, max diff:0.000657
iter 011, max diff:0.001195
iter 012, max diff:0.002778
iter 013, max diff:0.004561
iter 014, max diff:0.004748
iter 015, max diff:0.014849
iter 016, max diff:0.012696
iter 017, max diff:0.043639
iter 018, max diff:0.046540
iter 019, max diff:0.083032
iter 020, max diff:0.123678

控制循环次数

假设我们要计算方阵$A$的$A^k$，$k$ 是一个未知变量，我们可以这样通过 n_steps 参数来控制循环计算的次数：

In [11]:

A = T.matrix("A")
k = T.iscalar("k")

results, _ = theano.scan(fn = lambda P, A: P.dot(A),
                         # 初始值设为单位矩阵
                         outputs_info = T.eye(A.shape[0]),
                         # 乘 k 次
                         non_sequences = A,
                         n_steps = k)

A_k = theano.function(inputs = [A, k], outputs = results[-1])

test_a = floatX([[2, -2], [-1, 2]])

print A_k(test_a, 10)

# 使用 numpy 进行验证
a_k = np.eye(2)
for i in range(10):
    a_k = a_k.dot(test_a)

print a_k

[[ 107616\. -152192.]
 [ -76096\.  107616.]]
[[ 107616\. -152192.]
 [ -76096\.  107616.]]

使用共享变量

可以在 scan 中使用并更新共享变量，例如，利用共享变量 n，我们可以实现这样一个迭代 k 步的简单计数器：

In [12]:

n = theano.shared(floatX(0))
k = T.iscalar("k")

# 这里 lambda 的返回值是一个 dict，因此这个值会被传入 updates 中
_, updates = theano.scan(fn = lambda n: {n:n+1},
                         non_sequences = n,
                         n_steps = k)

counter = theano.function(inputs = [k], 
                          outputs = [],
                          updates = updates)

print n.get_value()
counter(10)
print n.get_value()
counter(10)
print n.get_value()

0.0
10.0
20.0

之前说到，fn 函数的返回值应该是 (outputs_list, update_dictionary) 或者 (update_dictionary, outputs_list) 或者两者之一。

这里 fn 函数返回的是一个字典，因此自动被放入了 update_dictionary 中，然后传入 function 的 updates 参数中进行迭代。

使用条件语句结束循环

我们可以将 scan 设计为 loop-until 的模式，具体方法是在 scan 中，将 fn 的返回值增加一个参数，使用 theano.scan_module 来设置停止条件。

假设我们要计算所有不小于某个值的 2 的幂，我们可以这样定义：

In [13]:

max_value = T.scalar()

results, _ = theano.scan(fn = lambda v_pre, max_v: (v_pre * 2, theano.scan_module.until(v_pre * 2 > max_v)), 
                         outputs_info = T.constant(1.),
                         non_sequences = max_value,
                         n_steps = 1000)

# 注意，这里不能取 results 的全部
# 例如在输入值为 40 时，最后的输出可以看成 (64, False)
# scan 发现停止条件满足，停止循环，但是不影响 64 被输出到 results 中，因此要将 64 去掉
power_of_2 = theano.function(inputs = [max_value], outputs = results[:-1])

print power_of_2(40)

[  2\.   4\.   8\.  16\.  32.]