Question

1. 一组向量 $ MathJax-Element-67 $ 是线性相关的：指存在一组不全为零的实数 $ MathJax-Element-65 $ ，使得： $ MathJax-Element-69 $ 。

   一组向量 $ MathJax-Element-67 $ 是线性无关的，当且仅当 $ MathJax-Element-68 $ 时，才有： $ MathJax-Element-69 $ 。

2. 一个向量空间所包含的最大线性无关向量的数目，称作该向量空间的维数。

3. 三维向量的点积： $ MathJax-Element-70 $ 。

   

4. 三维向量的叉积：

   $ \mathbf{\vec w}=\mathbf{\vec u}\times \mathbf{\vec v}=\begin{bmatrix}\mathbf{\vec i}& \mathbf{\vec j}&\mathbf{\vec k}\\ u_x&u_y&u_z\\ v_x&v_y&v_z\\ \end{bmatrix} $

   其中 $ MathJax-Element-71 $ 分别为 $ MathJax-Element-72 $ 轴的单位向量。

   $ \mathbf{\vec u}=u_x\mathbf{\vec i}+u_y\mathbf{\vec j}+u_z\mathbf{\vec k},\quad \mathbf{\vec v}=v_x\mathbf{\vec i}+v_y\mathbf{\vec j}+v_z\mathbf{\vec k} $

   ​

   • $ MathJax-Element-73 $ 和 $ MathJax-Element-74 $ 的叉积垂直于 $ MathJax-Element-76 $ 构成的平面，其方向符合右手规则。
   • 叉积的模等于 $ MathJax-Element-76 $ 构成的平行四边形的面积
   • $ MathJax-Element-77 $
   • $ MathJax-Element-78 $

   

5. 三维向量的混合积：

   $ [\mathbf{\vec u} \;\mathbf{\vec v} \;\mathbf{\vec w}]=(\mathbf{\vec u}\times \mathbf{\vec v})\cdot \mathbf{\vec w}= \mathbf{\vec u}\cdot (\mathbf{\vec v} \times \mathbf{\vec w})\\ =\begin{vmatrix} u_x&u_y&u_z\\ v_x&v_y&v_z\\ w_x&w_y&w_z \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} u_x&v_x&w_x\\ u_y&v_y&w_y\\ u_z&v_z&w_z\end{vmatrix} $

   其物理意义为：以 $ MathJax-Element-80 $ 为三个棱边所围成的平行六面体的体积。 当 $ MathJax-Element-80 $ 构成右手系时，该平行六面体的体积为正号。

6. 两个向量的并矢：给定两个向量 $ MathJax-Element-81 $ ，则向量的并矢记作：

   $ \mathbf {\vec x}\mathbf {\vec y} =\begin{bmatrix}x_1y_1&x_1y_2&\cdots&x_1y_m\\ x_2y_1&x_2y_2&\cdots&x_2y_m\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_ny_1&x_ny_2&\cdots&x_ny_m\\ \end{bmatrix} $

   也记作 $ MathJax-Element-82 $ 或者 $ MathJax-Element-83 $ 。