Question

1. 隐马尔可夫模型（Hidden Markov model,HMM）是可用于序列标注问题的统计学模型，描述了由隐马尔可夫链随机生成观察序列的过程，属于生成模型。

2. 隐马尔可夫模型：隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观察而产生观察随机序列的过程。

   • 隐藏的马尔可夫链随机生成的状态的序列称作状态序列。
   • 每个状态生成一个观测，而由此产生的观测的随机序列称作观测序列。
   • 序列的每一个位置又可以看作是一个时刻。

1.1 基本概念

1. 设 $ MathJax-Element-48 $ 是所有可能的状态的集合， $ MathJax-Element-49 $ 是所有可能的观测的集合，其中 $ MathJax-Element-176 $ 是可能的状态数量， $ MathJax-Element-51 $ 是可能的观测数量。

   • $ MathJax-Element-52 $ 是状态的取值空间， $ MathJax-Element-53 $ 是观测的取值空间 。
   • 每个观测值 $ MathJax-Element-54 $ 可能是标量，也可能是一组标量构成的集合，因此这里用加粗的黑体表示。状态值的表示也类似。

2. 设 $ MathJax-Element-55 $ 是长度为 $ MathJax-Element-282 $ 的状态序列， $ MathJax-Element-57 $ 是对应的观测序列。

   • $ MathJax-Element-58 $ 是一个随机变量，代表状态 $ MathJax-Element-59 $ 。
   • $ MathJax-Element-60 $ 是一个随机变量，代表观测 $ MathJax-Element-61 $ 。

3. 设 $ MathJax-Element-62 $ 为状态转移概率矩阵

   $ \mathbf A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,Q} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,Q} \\ \vdots &\vdots &\vdots&\vdots \\ a_{Q,1} & a_{Q,2} & \cdots & a_{Q,Q} \end{bmatrix} $

   其中 $ MathJax-Element-63 $ ，表示在时刻 $ MathJax-Element-417 $ 处于状态 $ MathJax-Element-418 $ 的条件下，在时刻 $ MathJax-Element-373 $ 时刻转移到状态 $ MathJax-Element-270 $ 的概率。

4. 设 $ MathJax-Element-91 $ 为观测概率矩阵

   $ \mathbf B=\begin{bmatrix} b_1(1) & b_1(2) & \cdots & b_1(V) \\ b_2(1) & b_2(2) & \cdots & b_2(V) \\ \vdots &\vdots &\vdots&\vdots \\ b_Q(1) & b_Q(2) & \cdots & b_Q(V) \end{bmatrix} $

   其中 $ MathJax-Element-69 $ ，表示在时刻 $ MathJax-Element-417 $ 处于状态 $ MathJax-Element-270 $ 的条件下生成观测 $ MathJax-Element-72 $ 的概率。

5. 设 $ MathJax-Element-85 $ 是初始状态概率向量： $ MathJax-Element-74 $ 是时刻 $ MathJax-Element-400 $ 时处于状态 $ MathJax-Element-418 $ 的概率。

   根据定义有： $ MathJax-Element-77 $ 。

6. 隐马尔可夫模型由初始状态概率向量 $ MathJax-Element-85 $ 、状态转移概率矩阵 $ MathJax-Element-90 $ 以及观测概率矩阵 $ MathJax-Element-91 $ 决定。因此隐马尔可夫模型 $ MathJax-Element-123 $ 可以用三元符号表示，即 ： $ MathJax-Element-419 $ 。其中 $ MathJax-Element-83 $ 称为隐马尔可夫模型的三要素：

   • 状态转移概率矩阵 $ MathJax-Element-90 $ 和初始状态概率向量 $ MathJax-Element-85 $ 确定了隐藏的马尔可夫链，生成不可观测的状态序列。
   • 观测概率矩阵 $ MathJax-Element-91 $ 确定了如何从状态生成观测，与状态序列一起确定了如何产生观测序列。

7. 从定义可知，隐马尔可夫模型做了两个基本假设：

   • 齐次性假设：即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻 $ MathJax-Element-417 $ 的状态只依赖于它在前一时刻的状态，与其他时刻的状态和观测无关，也与时刻 $ MathJax-Element-417 $ 无关，即：

     $ P({i}_t\mid {i}_{t-1},{o}_{t-1},\cdots,{i}_1,{o}_1)=P({i}_t\mid {i}_{t-1}),\quad t=1,2,\cdots,T $

   • 观测独立性假设，即假设任意时刻的观测值只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态，与其他观测及状态无关，即：

     $ P({o}_t\mid {i}_T,{o}_T,\cdots,{i}_{t+1},{o}_{t+1},{i}_{t},{i}_{t-1},{o}_{t-1},\cdots,{i}_1,{o}_1)=P({o}_t\mid {i}_t),\quad t=1,2,\cdots,T $

     .

1.2 生成算法

1. 隐马尔可夫模型可以用于标注问题：给定观测的序列，预测其对应的状态序列。 如：词性标注问题中，状态就是单词的词性，观测就是具体的单词。在这个问题中：

   • 状态序列：词性序列 。

   • 观察序列：单词序列 。

   • 生成方式：

     • 给定初始状态概率向量 $ MathJax-Element-96 $ ，随机生成第一个词性。
     • 根据前一个词性，利用状态转移概率矩阵 $ MathJax-Element-90 $ 随机生成下一个词性。
     • 一旦生成词性序列，则根据每个词性，利用观测概率矩阵 $ MathJax-Element-91 $ 生成对应位置的观察，得到观察序列。

2. 一个长度为 $ MathJax-Element-282 $ 的观测序列的 HMM 生成算法：

   • 输入：

     • 隐马尔可夫模型 $ MathJax-Element-93 $
     • 观测序列长度 $ MathJax-Element-282 $

   • 输出：观测序列 $ MathJax-Element-389 $

   • 算法步骤：

     • 按照初始状态分布 $ MathJax-Element-96 $ 产生状态 $ MathJax-Element-97 $ 。

     • 令 $ MathJax-Element-400 $ ，开始迭代。迭代条件为： $ MathJax-Element-99 $ 。迭代步骤为：

       • 按照状态 $ MathJax-Element-104 $ 的观测概率分布 $ MathJax-Element-101 $ 生成 $ MathJax-Element-102 $ ， $ MathJax-Element-103 $ 。
       • 按照状态 $ MathJax-Element-104 $ 的状态转移概率分布 $ MathJax-Element-300 $ 产生状态 $ MathJax-Element-106 $ 。
       • 令 $ MathJax-Element-107 $ 。