Question

对于一个方阵 A∈ R^n×n和一个向量 x∈ Rⁿ，标量 x^TAx 被称作一个 二次型 。显式地写出来，我们可以看到：

注意：

第一个等式是由标量的转置等于它自身得到，第二个等式是由两个相等的量的平均值相等得到。由此，我们可以推断，只有对称分量对二次型有影响。我们通常约定俗成地假设二次型中出现的矩阵是对称矩阵。

我们给出如下定义：

? 对于任一非零向量 x∈Rⁿ，如果 x^TAx>0，那么这个对称矩阵 A∈Sⁿ是 正定 （PD）的.通常记作 A?0，(或简单地 A>0)，所有的正定矩阵集合记作 Sⁿ₊₊。

? 对于任一非零向量 x∈Rⁿ，如果 x^TAx≧0，那么这个对称矩阵 A∈Sⁿ是 半正定 （PSD）的。记作 A?0，(或简单地 A≧0)，所有的半正定矩阵集合记作 Sⁿ₊ 。

? 同样的，对于任一非零向量 x∈Rⁿ，如果 x^TAx＜0,那么这个对称矩阵 A∈Sⁿ是 负定 (ND) 的。记作 A?0，(或简单地 A＜0)。

?对于任一非零向量 x∈Rⁿ，如果 x^TAx≤0,那么这个对称矩阵 A∈Sⁿ是 半负定 （NSD）的.记作 A?0，(或简单地 A≤0)。

?最后，如果它既不是半正定也不是半负定-亦即，存在 x₁，x₂∈Rⁿ使得 x₁^TAx₁>0 且 x₂^TAx₂<0，那么对称矩阵 A∈Sⁿ是 不定矩阵 。

显然，如果 A 是正定的，那么-A 是负定的，反之亦然。同样的，如果 A 是半正定的，那么-A 是半负定的，反之亦然。如果 A 是不定的，-A 也是不定矩阵。

正定矩阵和负定矩阵的一个重要性质是，它们一定是满秩的。因此，也是可逆的。为了证明这个性质，假设存在矩阵 A∈ R^n×n是不满秩的。进而，假设 A 的第 j 列可以其它 n-1 列线性表示。

对于 x₁,...,x_j?1, x_j+1,...,x_n ∈R,设 x_j=-1，我们有

但是这意味着对于某些非零向量 x，x^TAx=0，所以 A 既不能正定，也不能负定。因此，如果 A 是正定或者负定，它一定是满秩的。

最后，一种常见的正定矩阵需要注意：给定一个矩阵 A ∈R^m×n (不一定是对称，甚至不一定是方阵)，矩阵 G=A^TA(有时也称为格拉姆矩阵) 必然是半正定的。进一步，如果 m≥n,(为了方便，我们假设 A 满秩) 此时，G=A^TA 是正定的。